拓扑空间

度量空间

设$X$为一集合,$\rho:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$若对$\forall x,y,z\in X$,有

$\rho(x,y)\ge0$
$\rho(x,y)=0\Leftrightarrow x=y$
$\rho(x,y)=\rho(y,x)$
$\rho(x,z)\le\rho(x,y)+\rho(y,z)$

称$\rho$为$X$的一个度量,$X$为带度量$\rho$的度量空间,$\rho(x,y)$称为$x,y$的距离.

在实数集$\mathbb{R}$上,定义度量$\rho(x,y)=|x-y|$,称为实数空间.
在$\mathbb{R}^n$上,定义度量$\rho(x,y)=\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}$,称为$n$维实数空间.
记$\mathbb{H}=\lbrace x=(x_1,x_2\cdots)|x_i\in \mathbb{R},i\in N,\sum{x^2_i}<\infty\rbrace$,$\rho(x,y)=\sqrt{\sum(x_i-y_i)^2}$,称为Hilbert空间.

称度量空间$X$离散,如果$\forall x\in X,\exists \delta_x>0,\forall y\neq x\in X,\rho(x,y)>\delta_x$.有限集上的度量空间都是离散空间.

设$X$为度量空间,$x\in X$,给定$\varepsilon>0$,$\lbrace y\in X|\rho(x,y)<\varepsilon\rbrace$称为$x$的$\varepsilon$-球形邻域,记作$B_\varepsilon(x)$或$B(x,\varepsilon)$.

$x\in X$,至少有一个球形邻域,且$x$属于它的每一个球形邻域.
$x\in X$的任意两个球形邻域,存在$x$的一个球形邻域包含于二者.
若$y\in B(x)$,则$y$有一个球形邻域包含于$B(x)$.

设$A$是度量空间$X$的一个子集,如果$A$中的每一点都有球形邻域包含于$A$,称$A$是度量空间的一个开集(开集是由内点组成的集合).

实数空间中的开集是任意开区间的并集.

全集$X$和空集$\varnothing$都是开集.
开集的有限交是开集.
开集的任意并是开集.

设$x\in X$,$U$是$X$的一个子集,如果存在开集$V$使得$x\in V\subset U$,则称$U$是$x$的一个邻域($x$是$U$的内点).

$U$是$x$的一个邻域的充要条件是$x$有某一个球形邻域包含于$U$.

设$X$和$Y$是两个度量空间$f:X\rightarrow Y,x_0\in X$若对$f(x_0)$的任意球形邻域$B(f(x_0),\varepsilon)$,存在一个$x_0$的球形邻域$B(x,\delta)$,有$f(B(x_0,\delta))\subset B(f(x_0),\varepsilon)$,则称$f$在$x_0$处连续.若$f$在$X$内每一点连续,称$f$为一个连续映射.

$f$在$x_0$连续$\Leftrightarrow$$f(x_0)$的每一个邻域的原像都是$x_0$的一个邻域.
$f$连续$\Leftrightarrow$$Y$中的每个开集的原像都是$X$中的开集.

拓扑空间

设$X$是一非空集合,$\mathscr{T}$是$X$d的一个子集族,若满足

$X,\varnothing\in\mathscr{T}$
若$A,B\in\mathscr{T}$,则$A\cap B\in\mathscr{T}$
若$\mathscr{T_1}\subset\mathscr{T}$,则$\bigcup_{A\in\mathscr{T}}A\in\mathscr{T}$

则称$\mathscr{T}$是$X$的一个拓扑,$\mathscr{T}$中的元素称为开集.

由空集和全集构成的集合$\mathscr{T}=\lbrace X,\varnothing\rbrace$称为平庸拓扑.
设$X$是一个非空集合,令$\mathscr{T}=P(X)$,称为离散拓扑.
设$X$是一个非空集合,令$\mathscr{T}=\lbrace U|U\subset X,\mathrm{card}(\bar U)<\infty\rbrace\cup\lbrace\varnothing\rbrace$,称为余有限空间.
设$X$是一个非空集合,令$\mathscr{T}=\lbrace U|U\subset X,\mathrm{card}(\bar U)=\aleph_0\rbrace\cup\lbrace\varnothing\rbrace$,称为余可列空间.
设$X$是度量空间,$\mathscr{T}_\rho$为$X$中所有开集构成的子集族,称为$X$由度量$\rho$诱导出的拓扑.

设$\mathscr{T}$是$X$的一个拓扑,若存在$X$的一个度量$\rho$使得$\mathscr{T}$是度量拓扑$\mathscr{T}_\rho$,则称$(X,\mathscr{T})$可度量化.

$X={1,2},\mathscr{T}=\lbrace\varnothing,X\rbrace$不可度量.
$X={1,2},\mathscr{T}=\lbrace\varnothing,X,\lbrace1\rbrace\rbrace$不可度量.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,若$Y$中每一个开集$U$的原像$f^{-1}(U)$是$X$的一个开集,则称$f$连续.

恒等映射$i_X:X\rightarrow X$是一个连续映射.
若$f:X\rightarrow Y$和$g:Y\rightarrow Z$都是连续映射,则$g\circ f:X\rightarrow Z$也是连续映射.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,如果$f:X\rightarrow Y$是一个一一映射,并且$f$和$f^{-1}$都是连续的,则称$f$为同胚映射.

恒等映射$i_X:X\rightarrow X$是一个同胚映射.
若$f:X\rightarrow Y$是一个同胚映射,则若$f^{-1}:Y\rightarrow X$也是一个同胚映射.
若$f:X\rightarrow Y$和$g:Y\rightarrow Z$都是同胚映射,则$g\circ f:X\rightarrow Z$也是同胚映射.

设$X,Y$是两个拓扑空间,如果存在一个同胚映射$f:X\rightarrow Y$,则称$X$与$Y$同胚,记作$X\cong Y$.

拓扑空间的某种性质$P$,如果为某一个拓扑空间所具有,则所有与其同胚的拓扑空间都具有,则称性质$P$为拓扑不变性质,拓扑学的中心任务就是研究拓扑不变性质.

邻域

设$X$为拓扑空间,$x\in X$,如果$U$是$X$的一个子集,存在空集$V$使得$x\in V\subset U$,则称$U$是点$x$的一个邻域.点$x$的所有邻域构成的子集族称为$x$的邻域系,记作$\mathscr{U}_x$.

$X=\lbrace1,2,3\rbrace,\mathscr{T}=\lbrace\varnothing,X,\lbrace1\rbrace\rbrace$
1的开邻域有$\lbrace1\rbrace,X$
1的邻域还有$\lbrace1,2\rbrace,\lbrace1,3\rbrace$
3的开邻域有$X$

子集$U$是开集的充要条件是$U$是它的每一点的邻域.

设$X$为拓扑空间,$\mathscr{U}_x$为$x$的邻域系,则

$\forall x\in X,\mathscr{U}_x\neq\varnothing$.
若$U\in\mathscr{U}_x$,则$x\in U$.
若$U,V\in\mathscr{U}_x$,则$U\cap V\in\mathscr{U}_x$.
若$U\in\mathscr{U}_x,U\subset V$,则$V\in\mathscr{U}_x$.
若$U\in\mathscr{U}_x$,则存在$V\in\mathscr{U}_x$,使得$V\subset U$,且$\forall y\in V,V\in\mathscr{U}_y$.

设$X$是一个非空集合,又设出每一点$x\in X$的一个子集族$\mathscr{U}_x$满足如上定理的若干条性质,则$X$有唯一一个拓扑$\mathscr{T}$使得对每一点$x$,$\mathscr{U}_x$恰是$x$在拓扑空间中的邻域系.可以证明$\mathscr{T}=\lbrace U|U\in\mathscr{U}_x,\mathrm{if}:x\in U\rbrace$.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,若$f(x)$的每一个邻域$U$的原像$f^{-1}(U)$是$X$的一个邻域,则称$f$于$x$连续.

恒等映射$i_X:X\rightarrow X$在任意点$x\in X$连续.
若$f:X\rightarrow Y$在点$x\in X$处连续,$g:Y\rightarrow Z$在点$g(x)$处连续,则$g\circ f:X\rightarrow Z$在点$x$处连续.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,则映射$f$连续当且仅当其在每一点处连续.

导集,闭集,闭包,内部,边界

设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X$,若点$x\in X$的每一个邻域$U$中都有$A$中异于$x$的点,即$U\cap(A-\lbrace x\rbrace)\neq\varnothing$,则称$x$为集合$A$的一个聚点.$A$的所有聚点构成的集合称为$A$的导集,记作$A’$.若$x\in A$但$x$不是$A$的凝聚点,即存在$x$的某个邻域$U$使得$U\cap(A-\lbrace x\rbrace)=\varnothing$,则称$x$为$A$的孤立点.

$\varnothing’=\varnothing$
若$A\subset B$,则$A’\subset B’$
$(A\cup B)’=A’\cup B’$
$(A’)’=A\cup A’$

$\bar A=A\cup A’$,称为$A$的闭包.闭包都是闭集.

$\bar\varnothing=\varnothing$
$A\subset \bar A$
$\overline{A\cup B}=\bar A\cup\bar B$
$\overline{\overline{A}}=\bar A$

离散空间中的单点集是开集,因而任意离散空间的自己没有聚点,从而导集为$\varnothing$.
平庸空间$X$中,空集没有凝聚点,导集为空集;单点集$A$的邻域为$X$,导集为$X-A$;若$A$中包含多余一个点,则$A$的导集为$X$

设$X$为拓扑空间,$A\subset X$,若$A’\subset A$,则称$A$为闭集.$A$是闭集当且仅当$\complement A$为开集,当且仅当$A=\bar A$.$x\in\bar A$当且仅当$x$的任何一个邻域$U$都有$U\cap A=\varnothing$.

离散空间的任何子集都是闭集.
平庸空间的任何非空真子集都不是闭集.
实数空间中的闭区间都为闭集,$(-\infty,a]$和$[b,+\infty)$和$(-\infty,+\infty)$都是闭集.

设$X$是一个拓扑空间,记$\mathscr{F}$为所有闭集构成的族,则

$X,\varnothing\in\mathscr{F}$
若$A,B\in\mathscr{F}$,则$A\cup B\in\mathscr{F}$
若$\varnothing\neq\mathscr{F}_1\subset\mathscr{F}$,则$\bigcap\limits_{A\in\mathscr{F}_1}A\in\mathscr{F}$

Cantor集是实数空间的一个闭集.

设$X$是一个拓扑空间,记$\mathscr{F}$为所有闭集构成的族,则对于$X$的每一个子集$A$,有$$\bar A=\bigcap_{B\in\mathscr{F},B\supset A}B$$即$A$的闭包等于包含$A$的所有闭集之交,即包含这个集合的最小闭集.

设$X$是一个集合,映射$c:P(X)\rightarrow P(x)$若满足$\forall A,B\in P(X)$

$c(\varnothing)=\varnothing$
$A\subset c(A)$
$c(A\cup B)=c(A)\cup c(B)$
$c(c(A))=c(A)$

则称为一个闭包运算.上述四条通称Kuratovski闭包公理.

设$X$是一个集合,$c:P(X)\rightarrow P(x)$是一个闭包运算,则存在$X$的唯一一个拓扑$\mathscr{T}$,使得在拓扑空间下,对每个$A\subset X$,有$c(A)=\bar A$.即Kuratovski闭包公理与拓扑定义等价.

设$X$是一个度量空间,$X$中的点$x$到非空子集$A$的距离$\rho(x,A)$定义为$\mathrm{inf}(\rho(x,y)),\forall y\in A$.

设$A$是度量空间$X$的一个非空子集,则

$x\in A’\Leftrightarrow\rho(x,A-\lbrace x\rbrace)=0$
$x\in\bar A\Leftrightarrow\rho(x,A)=0$

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,则以下条件等价

$f$是一个连续映射
$Y$中的任何一个闭集$B$的原像$f^{-1}(B)$是一个闭集
对于$X$中的任何一个子集$A$,$A$的闭包的像包含于$A$的像的闭包,即$f(\bar A)\subset\overline{f(A)}$
对于$Y$中的任何一个子集$B$,$B$的闭包的原像包含$B$的原像的闭包,即$f^{-1}(B)\supset\overline{f^{-1}(B)}$

设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X$,若$A$是点$x$的一个邻域,即存在空集$V$使得$x\in V\subset A$,则称$x$是集合$A$的内点.集合$A$的全部内点构成的集合称为$A$的内部,记作$A^o$.内部都是开集.

设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X$,则$A^o=\overline{A^c}^c$,$\bar A=A^{coc}$

拓扑空间$X$的子集$A$是开集当且仅当$A=A^o$.

设$X$是一个拓扑空间,则对任意$A,B\in X$

$X^o=X$
$A\supset A^o$
$(A\cap B)^o=A^o\cap B^o$
$A^{oo}=A^o$

设$X$是一个拓扑空间,记$\mathscr{T}$为$X$的拓扑,则对于$X$的每一个子集$A$,有$$A^o=\bigcup_{B\in\mathscr{T},B\supset A}B$$即$A$的内部等于包含于$A$的所有空集之并,即含于这个集合的最大开集.可仿照闭包运算定义内部运算.

设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X$,$x\in X$.如果在$x$的任何邻域中既有$A$中的点又有$A^c$中的点,即有$U\cap A=\varnothing$和$U\cap A^c=\varnothing$,则称$x$是集合$A$的边界点.$A$的全体边界点构成的集合称为$A$的边界,记作$\partial A$.

$\bar A=\overline{\bar A^o}=A^o\cup\partial A$
$A^o=\overline{A^c}^c=\bar A-\partial A$
$\partial A=\bar A\cap \overline{A^c}=\partial(A^c)$

基

设$X$是一个拓扑空间,$\mathscr{B}$是$\mathscr{T}$的一个子族,如果$\mathscr{T}$中的每一个元素(即$X$的每一个开集)都可表示成$\mathscr{B}$中某些元素的并,即$\forall U\in\mathscr{T},\exists\mathscr{B}_1\subset\mathscr{B},U=\cup_{B\in\mathscr{B}_1}B$,则称$\mathscr{B}$是拓扑$\mathscr{T}$的一个基.

一个度量拓扑空间中的所有球形邻域是这个度量空间的一个基.
实数空间的所有开区间构成一个基.
离散空间的所有单点集构成一个基.

设$\mathscr{B}$是拓扑空间$X$的一个开集族($\mathscr{B}\subset\mathscr{T}$),则$\mathscr{B}$是拓扑空间的一个基当且仅当对每一个$x\in X$和$x$的每一个邻域$U_x$,存在$V_X\in\mathscr{B}$使得$x\in V_x\subset U_x$.

设$X$是一个集合,$\mathscr{B}$是集合$X$的一个子集族($\mathscr{B}\subset P(X)$),有

$\bigcup\limits_{B\in\mathscr{B}}B=X$
$B_1,B_2\in\mathscr{B}$,则对于任何$x\in B_1\cap B_2$,存在$B\in\mathscr{B}$使得$x\in B\subset B_1\cap B_2$

则子集族$$\mathscr{T}=\lbrace U\subset X|\exists \mathscr{B}_U\subset\mathscr{B},U=\bigcup_{B\in\mathscr{B}_U}B\rbrace$$是集合$X$的唯一一个以$\mathscr{B}$为基的拓扑;反之,若$\mathscr{B}$是$X$某一个拓扑的基,则$\mathscr{B}$一定满足上述条件.

在实数集上,$\mathscr{B}=\lbrace[a,b)|a,b\in \mathbb{R},a<b\rbrace$是拓扑$\mathscr{T}_l$的基,该拓扑称为实数下限拓扑.$\mathscr{T}\subsetneqq\mathscr{T}_l$.

设$(X,\mathscr{P})$是一个拓扑空间,$\mathscr{S}$是$\mathscr{P}$的一个子族,如果$\mathscr{S}$的所有非空有限子族之交构成的集族$$\mathscr{B}=\lbrace \bigcap_{i=1}^{n}S_i|S_i\in\mathscr{S},n\in \mathbb{Z}_+\rbrace$$是拓扑$\mathscr{P}$的一个基,则称集族$\mathscr{S}$是拓扑$\mathscr{P}$的一个子基.

实数集的一个子集族$\mathscr{S}=\lbrace(a,+\infty)|a\in \mathbb{R}\rbrace\cup\lbrace(-\infty,b)|b\in \mathbb{R}\rbrace$是实数空间的一个子基.

设$X$是一个集合,$\mathscr{S}$是$X$的一个子集族($\mathscr{S}\subset P(X)$),若$X=\bigcup_{S\in\mathscr{S}}S$,则$X$有唯一的一个拓扑$\mathscr{P}$以$\mathscr{S}$为子基.若令$$\mathscr{B}=\lbrace \bigcap_{i=1}^{n}S_i|S_i\in\mathscr{S},n\in \mathbb{Z}_+\rbrace$$则$$\mathscr{P}=\lbrace\bigcup_{B\in\mathscr{B}_1}B|\mathscr{B}_1\subset\mathscr{B}\rbrace$$

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,则以下条件等价

$f$是一个连续映射
$Y$中的有一个基$\mathscr{B}$,使得$\forall B\in\mathscr{B}$,原像$f^{-1}(B)$是一个开集
$Y$中的有一个子基$\mathscr{S}$,使得$\forall S\in\mathscr{S}$,原像$f^{-1}(S)$是一个开集

设$X$是一个拓扑空间,$x\in X$.记$\mathscr{U}_x$为$x$的邻域系.$\mathscr{U}_x$的子族$\mathscr{V}_x$若$\forall U\in\mathscr{U}_x,\exists V\in\mathscr{V}_x,V_x\subset U_x$,则称$\mathscr{V}_x$是点$x$的一个邻域基.$\mathscr{U}_x$的子族$\mathscr{W}_x$的每一个有限非空子集之交的全体构成的集族,即$$\lbrace \bigcap_{i=1}^{n}W_i|W_i\in\mathscr{W},n\in \mathbb{Z}_+\rbrace$$是$\mathscr{U}_x$的一个邻域基,则$\mathscr{W}_x$是$x$的一个邻域子基.

度量空间某个点的全体球形邻域是这个点的一个邻域基.
度量空间某个点的全体有理数半径球形邻域是这个点的一个邻域基.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,$x\in X$,则以下条件等价

$f$在点$x$处连续
$f(x)$有一个邻域基$\mathscr{V}_{f(x)}$,使得$\forall V\in\mathscr{V}_{f(x)}$,原像$f^{-1}(V)$是一个邻域
$f(x)$有一个邻域子基$\mathscr{W}_{f(x)}$,使得$\forall V\in\mathscr{W}_{f(x)}$,原像$f^{-1}(W)$是一个邻域

设$X$是一个拓扑空间,$x\in X$,则

若$\mathscr{B}$是$X$的一个基,则$\mathscr{B}_x=\lbrace B\in\mathscr{B}|x\in B\rbrace$是点$x$的一个邻域基
若$\mathscr{S}$是$X$的一个子基,则$\mathscr{S}_x=\lbrace S\in\mathscr{S}|x\in S\rbrace$是点$x$的一个邻域子基

序列

设$X$为一个拓扑空间,映射$S:\mathbb{Z}_+\rightarrow X$叫做$X$的一个序列,记作$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$.

设$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$是拓扑空间$X$的一个序列,$x\in X$.若对$x$的每一个邻域$U$,存在$M\in \mathbb{Z}_+$,当$i>M$时有$x_i\in U$,则称点$x$是序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$的一个极限点,记作$\lim\limits_{i\rightarrow\infty}x_i=x$.如果序列至少有一个极限,称序列收敛.

设$X$是一个拓扑空间,$S,S_1:\mathbb{Z}_+\rightarrow X$是$X$中的两个序列.如果存在一个严格递增的映射$N:\mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$,使得$S_1=S\circ N$,则称$S_1$是$S$的一个子序列,记作$\lbrace x_{N(i)}\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$.

$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$是拓扑空间$X$的一个序列,则

若$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$是一个常值序列,即对于某个$x$,有$x_i=x,i\in \mathbb{Z}_+$,则$\lim\limits_{i\rightarrow\infty}x_i=x$
若$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$收敛于$x\in X$,则$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$的每一个子序列都收敛于$x$.

设$X$是一个拓扑空间,$A\subset X,x\in X$.如果有一个序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$在$A-\lbrace x\rbrace$中,并收敛于$x$,则$x$是$A$的一个聚点.反之则不然.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$,则

如果$f$在点$x_0\in X$处连续,则$X$中的一个序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$收敛于$x_0$蕴含$Y$中的序列$\lbrace f(x_i)\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$收敛于$f(x_0)$
若$f$连续,则$X$中的一个序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$收敛于$x\in X$蕴含$Y$中的序列$\lbrace f(x_i)\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$收敛于$f(x_0)$

逆命题不成立.

设$X$是一个度量空间,$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$是$X$中的一个序列,$x\in X$,则以下条件等价:

序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$收敛于$x$
$\forall\varepsilon>0,\exists N\in \mathbb{Z}_+,\forall i>N,\rho(x_i,x)<\varepsilon$
$\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\rho(x_i,x)=0$

子空间、积空间、商空间

子空间

设$(X,\rho)$为一个度量空间,$Y$是$X$的一个子集,$\rho|_{Y\times Y}$称为$\rho$诱导出来的度量,$(Y,\rho)$称为$(X,\rho)$的度量子空间.

实数空间的子集如$(a,b)$,$(a,b]$,$[a,b]$等是度量子空间.
$n+1$维空间中的欧式球面.
$n$维开球,$n$维闭球等.

设$Y$是度量空间$X$的度量子空间,则$Y$的子集$U$是$Y$的开集当且仅当存在一个$X$中的开集$V$使得$U=V\cap Y$.

设$Y$是拓扑空间$(X,\mathscr{T})$的子集,则集族$\mathscr{T}|_Y$是$Y$的一个拓扑,称为相对拓扑,$Y$是$X$的拓扑子空间.$\mathscr{T}|_Y$表示$\lbrace Y\cap T|T\in \mathscr{T}\rbrace$称为$\mathscr{T}$在$Y$上的限制.

设$Y$是度量空间$X$的度量子空间,则$Y$作为拓扑空间也是拓扑空间$X$的拓扑子空间.

设$Y$是拓扑空间$X$的子空间,设$Z$是拓扑空间$Y$的子空间,则设$Z$是拓扑空间$X$的子空间.

设$Y$是拓扑空间$X$的子空间,$y\in Y$

记$\mathscr{T}$和$\tilde{\mathscr{T}}$为$X$和$Y$的拓扑,则$\tilde{\mathscr{T}}=\mathscr{T}|_{Y}$
记$\mathscr{F}$和$\tilde{\mathscr{F}}$为$X$和$Y$的全体闭集族,则$\tilde{\mathscr{F}}=\mathscr{F}|_{Y}$.
记$\mathscr{U}_y$和$\tilde{\mathscr{U}_y}$为$y$在$X$和$Y$的邻域系,则$\tilde{\mathscr{U}}=\tilde{\mathscr{U}_y}$

设$Y$是拓扑空间$X$的子空间,$A\subset Y$

$A$在$Y$中的导集$d_Y(A)$是$A$在$X$中的导集与$Y$的交.
$A$在$Y$中的闭包$c_Y(A)$是$A$在$X$中的闭包与$Y$的交.

设$Y$是拓扑空间$X$的子空间,$y\in Y$

如果$\mathscr{B}$是$X$的一个基,则$\mathscr{B}|_{Y}$是$Y$的一个基.
如果$\mathscr{V}_y$是$y$在$X$的一个邻域基,则$\mathscr{B}_y|_{Y}$是$y$在$Y$的一个邻域基.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$如果它是一个单射,并且是从$X$到它的像集$f(X)$的一个同胚,称为一个嵌入,此时称$X$可嵌入$Y$.($Y$与$X$的某个子空间同胚,$Y$在同胚意义下是$X$的子空间)

含有多余一个点的离散空间不可能嵌入到任何一个平庸空间去,前者不可度量,后者可度量.
含有多余一个点的平庸空间不可能嵌入到任何一个离散空间去,前者不可度量,后者可度量.

有限积空间

设$(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2),\cdots,(X_n,\rho_n),n\ge1$为度量空间,令$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$,定义$\rho:X\times X\rightarrow \mathbb{R}$,有$\rho=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n\rho_i^2}$,称为积度量,$(X,\rho)$称为度量积空间.

$n$维欧式空间$\mathbb{R}^n$是$n$个实数空间的度量积空间.

设$(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2),\cdots,(X_n,\rho_n),n\ge1$为度量空间,$(X,\rho)$为度量积空间,设$\mathscr{T}_i$和$\mathscr{T}$分别为度量$\rho_i$和$\rho$所诱导出来的拓扑,则$X$的子集族$\mathscr{B}=\lbrace U_1\times U_2\times\cdots\times U_n|U_i\in\mathscr{T}_i\rbrace$是拓扑$\mathscr{T}$的一个基.

设$(X_1,\rho_1),(X_2,\rho_2),\cdots,(X_n,\rho_n),n\ge1$为拓扑,则$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$,有唯一一个拓扑$\mathscr{T}$以$X$的子集族$\mathscr{B}=\lbrace U_1\times U_2\times\cdots\times U_n|U_i\in\mathscr{T}_i\rbrace$为它的一个基,称为积拓扑,$(X,\mathscr{T})$称为拓扑积空间.

设$X$是度量积空间,则将$X$作为拓扑空间时也是拓扑积空间.

$\mathbb{R}^n$是$n$个$\mathbb{R}$的拓扑积空间.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,$\mathscr{B}_i$是$X_i$的基,则$X$的子集族$\tilde{\mathscr{B}}=\lbrace B_1\times B_2\times\cdots B_n|B_i\in\mathscr{B}_i\rbrace$是$X$的一个基.

实数空间$\mathbb{R}$有一个基由全体开区间构成,$n$维欧式空间$\mathbb{R}^n$有一个基由所有开立方体构成.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,$\mathscr{T}_i$和$\mathscr{T}$分别为$X_i$和$X$的拓扑,则$X$以子集族$\mathscr{S}=\lbrace \pi_i^{-1}(U_i)|U_i\in\mathscr{T}_i$为它的一个子基.其中$\pi_i:X\rightarrow X_i$为投影.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,则$\pi_i:X\rightarrow X_i$是满的连续开映射,即把任何开集映射为开集.

$\pi_i:X\rightarrow X_i$未必是闭映射,如$\pi_i:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{R}$,闭集$B=\lbrace(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2|x_1x_2=1\rbrace$,但$\pi_1(B)=\mathbb{R}-\lbrace0\rbrace$不是$\mathbb{R}$的闭集.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,$Y$为拓扑空间.则映射$f:Y\rightarrow X$连续当且仅当对每一个$i$,映射$\pi_i\circ f:Y\rightarrow X_i$连续.

设$X=X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$是$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge1$的积空间,$\mathscr{T}$是积拓扑.考虑$\tilde{\mathscr{T}}$满足$\pi_i:X\rightarrow X_i$是连续映射,则$\mathscr{T}\subset\tilde{\mathscr{T}}$.即积拓扑是使得积空间到每一个做表空间的投影都连续的最小拓扑.

设$X_1,X_2,\cdots,X_n,n\ge2$是拓扑空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$同胚于$(X_1\times X_2\times\cdots\times X_{n-1})\times X_n$.即积空间可以归纳地定义.

商空间

设$X$是一个拓扑空间,$Y$是一个集合,$f:X\rightarrow Y$是一个满射.则$Y$的子集族$\mathscr{T}_1=\lbrace U\subset Y|f^{-1}(U)\in\mathscr{T}\rbrace$是$Y$的一个拓扑,称为商拓扑.

设$X$是一个拓扑空间,$Y$是一个集合,$f:X\rightarrow Y$是一个满射.有

若$\mathscr{T}_1$是$Y$的商拓扑,则$f:X\rightarrow Y$是一个连续映射.
若$\tilde{\mathscr{T}_1}$是$Y$的拓扑,且对于$\tilde{\mathscr{T}_1}$而言$f$是连续的,则$\tilde{\mathscr{T}_1}\subset\mathscr{T}_1$.即商拓扑使$f$连续的最大拓扑.

设$X$和$Y$是拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个满射且$Y$的拓扑是对于$f$而言的商映射,则称$f$是一个商映射.

设$X$,$Y$,$Z$是拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个商映射,则映射$g:Y\rightarrow Z$连续当且仅当映射$g\circ f:X\rightarrow Z$连续.

设$X$和$Y$是拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个商映射.令$R=\lbrace(x_1,x_2)\in X^2|f(x_1)=f(x_2)\rbrace$,则

$R$是$X$中的一个等价关系
$Y$同胚于商空间$X/R$

设$X$和$Y$是拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个连续的满射,并且是一个开映射或闭映射,则$Y$的拓扑便是相对于$f$的商拓扑.

设$X$是一个拓扑空间,$R$是$X$中的一个等价关系,商集$X/R$(相对于自然投影$\pi:X\rightarrow X/R$)的商拓扑$\mathscr{T}_R$称为$X/R$(相对于$R$的)商拓扑.$(X/R,\mathscr{T}_R)$称为$(X,\mathscr{T})$的商空间.

在实数空间$\mathbb{R}$上给定$\sim=\lbrace(x,y)\in \mathbb{R}^2|x,y\in \mathbb{Q}\quad\text{or}\quad x,y\notin \mathbb{Q}\rbrace$,则$\mathbb{R}/\sim=\lbrace[0],[\sqrt2]\rbrace$,称为将实数空间中所有有理点和所有无理点分别粘合为一点得到的商空间,商拓扑是平庸拓扑.
在单位闭区间$I=[0,1]$上给定$\sim=\lbrace(x,y)\in I^2|x=y\quad\text{or}\quad \lbrace x,y\rbrace=\lbrace0,1\rbrace\rbrace$,则$I/\sim$称为将单位闭区间$I$中两个端点粘合为一点所得到的商空间,其与单位圆周$S^1$同胚.
将正方形的对边同向粘合,可以得到圆柱,其与$S^1\times I$同胚.
将正方形的对边反向粘合,可以得到Mobius带.
将圆柱两端同向粘合,可以得到环面,同胚于$S^1\times S^1$.
将圆柱两端反向粘合,可以得到Klein瓶.

连通性

连通空间

设$A$和$B$是拓扑空间的两个子集,若$(A\cap\bar B)\cup(B\cap\bar A)=\varnothing$,即互不包含的对方凝聚点的不交子集,则称$A$和$B$是隔离的.

在$\mathbb{R}$中,$(0,1)$和$(1,2)$隔离,但$(0,1)$和$[1,2)$不隔离.
空集和任意子集隔离.
平庸空间中的任何子集都不隔离.
离散空间中的任意不交子集都是隔离的.

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$中有两个非空的隔离子集$A$和$B$使得$X=A\cup B$,则称$X$是一个不连通空间,否则称$X$是一个连通空间.

多于一个点的离散空间是不连通空间
而任何平庸空间都是连通空间

设$X$是一个拓扑空间,则以下条件等价:

$X$是一个不连通空间
$X$中存在两个非空的闭子集$A$和$B$使得$A\cap B=\varnothing$和$A\cup B=X$成立
$X$中存在两个非空的开子集$A$和$B$使得$A\cap B=\varnothing$和$A\cup B=X$成立
$X$中存在一个既开又闭的非空真子集.

有理数集$\mathbb{Q}$是一个不连通空间.
实数空间$\mathbb{R}$是一个连通空间.

设$Y$是拓扑空间$X$的一个子集,如果$Y$作为$X$的子空间是一个连通空间,则称$Y$是$X$的一个连通子集,否则称为不连通子集.

设$X$是一个拓扑空间,且有$Y\subset Z\subset X$,则$Y$是$X$的连通子集,当且仅当$Y$是$Z$的连通子集.

设$Y$是拓扑空间$X$的一个子集,$A,B\subset Y$,则$A$和$B$是子空间$Y$中的隔离子集当且仅当它们是$X$中的隔离子集.

设$Y$是拓扑空间$X$中的一个连通子集,如果$X$中有隔离子集$A$和$B$使得$Y\subset A\cup B$,则有$Y\in A$或$Y\in B$.

设$Y$是拓扑空间$X$的连通子集,$Z\subset X$,且满足$Y\subset\bar Y$,则$Z$也是$X$的一个连通子集.

设$\lbrace Y_\gamma\rbrace_{\gamma\in\varGamma}$是拓扑空间$X$的连通子集构成的子集族,若$\bigcap\limits_{\gamma\in\varGamma}Y_\gamma\neq\varnothing$,则$\bigcup\limits_{\gamma\in\varGamma}Y_\gamma\neq\varnothing$是$X$的一个连通子集.

$\mathbb{R}^2$中的若干条直线同胚于$\mathbb{R}$,交于一点,组成的图形是连通的.

设$Y$是拓扑空间$X$中的一个子集,如果对于任意$x,y\in Y$,存在$X$中的一个连通子集$Y_{xy}$使得$x,y\in Y_{xy}\subset Y$,则$Y$是$X$中的一个连通子集.

设$f:X\rightarrow Y$是从连通空间到拓扑空间$Y$的一个连续满射,则$Y$是连通空间.称连通性为在连续映射下保持不变的性质.

拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有则必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个可商性质.

连通性是可商性质,连通空间的商空间是连通的.

设$f:X\rightarrow Y$是从连通空间到拓扑空间$Y$的一个连续映射,则$f(x)$是$Y$的一个连通子集.

拓扑空间的某种性质,如果为任意$n\ge1$个拓扑空间$X_1,X_2,\cdots,X_n$所具有则必然为积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$所具有,则称这个性质是一个有限可积性质.

离散空间的积空间还是离散空间,平庸空间的积空间还是平庸空间,离散性和平庸性是有限可积性质.
连通空间的积空间还是连通空间.
$\mathbb{R}^n$是连通空间.

设$X$是一个拓扑空间,$x,y\in X$,如果存在$X$中的一个连通子集包含$x$和$y$,则称$x$和$y$连通.连通关系是一个等价关系.对于$X$中的点的连通关系而言,每一个等价类称为拓扑空间$X$的一个连通分支.

平庸空间只有一个连通分支.
离散空间每一个单点集都是一个连通分支.

设$X$是一个拓扑空间,$C$是$X$的一个连通分支,则

如果$Y$是$X$的一个连通子集,且$Y\cap C\neq\varnothing$,则$Y\subset C$.
$C$是一个连通子集.
$C$是闭集.

即每一个连通分支都是最大的连通子集.

连通空间可以不是开集,如$\mathbb{Q}$的单点集.
当连通分支数目有限时,$C$也一定是开集.

连通空间的数目是拓扑不变性质.

连通空间的应用

设$E$是实数空间$\mathbb{R}$的一个子集,则$E$是一个连通子集当且仅当$E$是一个区间.

设$X$是一个连通空间,$f:X\rightarrow \mathbb{R}$是一个连续映射,则$f(x)$是$\mathbb{R}$中的一个区间.因此,若有$x,y\in X$,则对于$f(x)$和$f(y)$之间的任意实数$t$,总有$z\in X$使得$f(z)=t$.

(介值定理).设$f:[a,b]\rightarrow \mathbb{R}$是一个连续映射,则对于$f(a)$和$f(b)$之间的任何一个实数$r$,存在$z\in[a,b]$使得$f(z)=r$.

(不动点定理)设$f:[0,1]\rightarrow[0,1]$,则存在$z\in[0,1]$使得$f(z)=z$.

(Brouwer不动点定理)设$f:D^n\rightarrow D^n$是一个连续映射,则存在$z\in D^n$,使得$f(z)=z$.

(Borsuk-Ulam定理)设$f:S^1\rightarrow \mathbb{R}$是一个连续映射,则在$S^1$中存在一对对径点$x$和$-x$,使得$f(x)=f(-x)$.

(Borsuk-Ulam定理)设$f:S^n\rightarrow \mathbb{R}^l(n\ge l)$是一个连续映射,则存在$x\in S^n$,使得$f(x)=f(-x)$.

地球上总存在对称的两点,它们的温度和大气压的值正好都相同.

$n>1$维欧式空间$\mathbb{R}^n$的子集$\mathbb{R}^n-\lbrace0\rbrace$是一个连通子集.

$\mathbb{R}^2$和$\mathbb{R}$是不同胚的.$(a,b)$和$[a,b]$不同胚,一个圆和两个相切的圆不同胚.

局部连通

设$X$是一个拓扑空间,$x\in X$,若$x$的每一个邻域$U$中都包含着$x$的某一个连通的邻域$V$,则称$X$在$x$处局部连通.$x$处局部连通当且仅当$x$的所有连通邻域构成$x$的一个邻域基.若$X$在其内的每一个点都局部连通,则称$X$是一个局部连通空间.

每一个离散空间都是局部连通空间,但多于一个点的离散空间是不连通的.
$\mathbb{R}^n$的任何开子空间局部连通的,但两个不交开集并不是连通的.
令$S=\lbrace(x,\sin\dfrac1x)|x\in(0,1]\rbrace$,$T=\lbrace0\rbrace\times[-1,1]$,则$S$是连通的,$\bar S=S\cup T$也是连通的,但$\bar S$在$T$不局部连通,$\bar S$不是局部连通的.

设$X$是一个拓扑空间,则以下条件等价:

$X$是一个局部连通空间
$X$的任何一个开集的任何一个连通分支都是开集
$X$有一个基,它的每一个元素都是连通的

从而,局部连通空间的每一个连通分支都是开集.

设$X$和$Y$都是拓扑空间,其中$X$局部连通,又设$f:X\rightarrow Y$是一个连续开映射,则$f(X)$是一个局部连通空间.

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是$n\ge1$个局部连通空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$也是局部连通空间.

道路连通空间

设$X$是一个拓扑空间,从单位闭区间$[0,1]$到$X$的每一个连续映射$f:[0,1]\rightarrow X$叫做$X$中的一条道路,像集$f([0,1])$称作一条曲线.

设$X$是一个拓扑空间,若对于任何$x,y$,存在$X$中的一条从$x$到$y$的道路,则称$X$是一个道路连通空间.如$X$中的一个子集$Y$是一个道路连通空间,则称作$X$中的一个道路连通子集.

如果拓扑空间$X$是一个道路连通空间,在$X$也是连通空间.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,其中$X$是道路连通的,$f:X\rightarrow Y$是一个连续映射,则$f(X)$是道路连通的.

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是$n\ge1$个道路连通空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$也是道路连通空间.

设$X$是一个拓扑空间,$x,y\in X$,如果$X$中有一条从$x$到$y$的道路,则称$x$和$y$是道路连通的.道路连通关系是一个等价关系,对于$X$中的道路连通关系而言,每一个等价类称为$X$的一个道路连通分支.

$\mathbb{R}^n$的任何一个连通开集都是道路连通的.
$\mathbb{R}^n$的任何开集的每一个道路连通分支同时也是一个连通分支.

可数性公理

一个拓扑空间如果有一个可数基,则称这个拓扑空间是一个满足第二可数性公理的空间,简称为$A_2$空间.

实数空间$\mathbb{R}$是一个$A_2$空间,选取所有有理数为端点的开区间作为基族.
不可数离散空间不是$A_2$空间.

一个拓扑空间如果在每一点都有一个可数邻域基,则称这个拓扑空间是一个满足第一可数性公理的空间,简称为$A_1$空间.

每一个度量空间都是一个$A_1$空间.
$X$是包含不可数个点的可数补空间,则$X$不是$A_1$空间.

$A_2$空间都是$A_1$空间,但反之不成立.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个满的连续开映射,如果X满足第二(一)可数性公理,则$Y$也满足第二(一)可数性公理.

拓扑空间的某种性质称为可遗传性质,如果一个拓扑空间具有则任何一个子空间也具有.拓扑空间的某种性质称为对于开(闭)子空间可遗传性质,如果一个拓扑空间具有则任何一个开(闭)子空间也具有.

离散性,平庸性都是可遗传性质.
连通性不是可遗传性质,但连通性对于开子空间可遗传.
如下,两个可数公理是可遗传的,也是有限可积的.

满足第二(一)可数性公理的空间的任何一个子空间也是满足第二(一)可数性公理的空间.

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是$n$个满足第二(一)可数性公理的空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$也是满足第二(一)可数性公理的空间.

$\mathbb{R}^n$的每一个子空间都是$A_2$空间.

设$X$是一个拓扑空间,如果在点$x\in X$处有一个可数邻域基,则在点$x$处有一个单调递减的可数邻域基$\lbrace U_i\rbrace_{i\in \mathbb{Z}_+}$,即$U_1\supset U_2\supset\cdots\supset U_i\supset U_{i+1}\supset\cdots$.

设$X$是一个满足第一可数性公理的,$A\subset X$,则点$x$是集合$A$凝聚点的充分必要条件是在集合$A-\lbrace x\rbrace$中有一个序列收敛于$x$.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,其中$X$满足第一可数性公理,$x\in X$,则映射$f:X\rightarrow Y$在点$x\in X$处连续的充分必要条件是若$X$中的序列$x_i$收敛于$x$,则$Y$中的序列$\lbrace f(x_i)\rbrace$收敛于$f(x)$.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,其中$X$满足第一可数性公理,则映射$f:X\rightarrow Y$在是一个连续映射的充分必要条件是若$X$中的序列$x_i$收敛于$x\in X$,则$Y$中的序列$\lbrace f(x_i)\rbrace$收敛于$f(x)$.

可分空间

设$X$是一个拓扑空间,$D\subset X$,如果$D$的闭包等于整个拓扑空间$X$,即$\bar D=X$,则称$D$是$X$的一个稠密子集.

设$X$是一个拓扑空间,$D$是$X$中的一个稠密子集,又设$f,g:X\rightarrow \mathbb{R}$都是连续映射.如果$f|_D=g|_D$,则$f=g$.

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$有一个可数稠密子集,则称$X$是一个可分空间.

$A_2$空间都是可分空间.可分性不可遗传,但第二可数性可遗传,因此$A_2$空间的子空间也是可分空间.

每一个可分的度量空间都满足第二可数性公理.可分度量空间的子空间也是可分空间

如果度量空间有有限稠密子集的话,则一定是离散空间.
不可数离散空间是不可分的.
$\mathbb{R}^n$的任何子空间都是可分空间.
设$(X,\mathscr{T})$是一个拓扑空间,$\infty$是任何一个不属于$X$的元素.令$X^\circ=X\cup\lbrace\infty\rbrace$和$\mathscr{T}^\circ=\lbrace A\cup\lbrace\infty\rbrace|A\in\mathscr{T}\rbrace\cup\lbrace\varnothing\rbrace$,则$(X^\circ,\mathscr{T}^\circ)$是一个拓扑空间,且

$(X^\circ,\mathscr{T}^\circ)$可分,因为$\lbrace\infty\rbrace$稠密.

$(X^\circ,\mathscr{T}^\circ)$满足第二可数性公理当且仅当$(X,\mathscr{T})$满足第二可数性公理.

$(X,\mathscr{T})$是$(X^\circ,\mathscr{T}^\circ)$的一个子空间,因为$\mathscr{T}=\mathscr{T}^\circ|_X$
可分空间可以不满足第二可数性公理.
可分空间的子空间可以不是可分空间.

Lindelöff空间

设$\mathscr{A}$是一个集族,$B$是一个集合,如果$\bigcup\limits_{A\in\mathscr{A}}A\supset B$,则称集族$\mathscr{A}$是集合$B$的一个覆盖.当$\mathscr{A}$有限或可数时,称$\mathscr{A}$是$B$的一个有限覆盖或可数覆盖.

设集族$\mathscr{A}$是集合$B$的一个覆盖,若$\mathscr{A}$的一个子族$\mathscr{A}_1$也是$B$的覆盖,则称$\mathscr{A}_1$是$\mathscr{A}$的子覆盖.

设$X$是一个拓扑空间,如果由$X$中开(闭)子集构成的集族$\mathscr{A}$是$X$的子集$B$的一个覆盖,则称$\mathscr{A}$是$B$的一个开(闭)覆盖.

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$的每一个开覆盖都有一个可数子覆盖,则称拓扑空间$X$是一个Lindelöff空间.

不可数离散空间一定不是Lindelöff空间.

(Lindelöff定理)$A_2$空间都是Lindelöff空间.

$A_2$空间的每一个子空间都是Lindelöff空间.

$\mathbb{R}^n$的每一个子空间都是Lindelöff空间.
设$X$是包含不可数个的可数补空间,其不满足第一和第二可数性公理,但它和它的子空间都是Lindelöff空间.

Lindelöff度量空间都是$A_2$空间.

Lindelöff不可遗传,不满足有限可积.

设$X$不可数,$z\in X$,令$X_1=X-\lbrace z\rbrace$,$\mathscr{T}=P(X_1)\cup\lbrace U\in P(X)|z\in U,\text{countable }U’\rbrace$,则$\mathscr{T}$是$X$的一个拓扑.$(X,\mathscr{T})$是一个Lindelöff空间,但$\mathscr{T}|_{X_1}=P(X_1)$,$X_1$作为$X$的子空间是一个不可数离散空间,故不是Lindelöff空间.
实数下限空间$\mathbb{R}_l$是Lindelöff空间,但实数下限空间的积$\mathbb{R}_l^2$不是Lindelöff空间.

Lindelöff的闭子空间都是Lindelöff空间.

设拓扑空间$X$的任何一个子空间都是Lindelöff空间.如果$A\subset X$是一个不可数集,则$A$中必定包含$A$的某一个凝聚点,即$A\cap d(A)\neq\varnothing$.特别地,如果$X$是一个$A_2$空间,在$X$的每一个不可数子集$A$都包含$A$的某一个凝聚点.

分离性公理

$T_0$,$T_1$,Hausdorff空间

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$中的任意两个不同的点中必有一个点有一个[开]邻域不包含另一个点(即若$x,y\in X,x\neq y$,则或者$x$有一个开邻域$U$使得$y\notin U$,或者$y$有一个开邻域$V$使得$x\notin V$),则称$X$是一个$T_0$空间.在这个定义及后文类似的定义中,”开邻域”和”邻域”描述,定义是等价的.

多于一个点的平庸空间不是$T_0$空间.

拓扑空间$X$是一个$T_0$空间,当且仅当$X$中任何两个不同单点集有不同的闭包,即若$x,y\in X,x\neq y$,则$\overline{\lbrace x\rbrace}\neq\overline{\lbrace y\rbrace}$.

两个点以上的离散空间是$T_0$空间.
$X$是有无穷多点的有限补空间,$X$是$T_0$空间.

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$中的任意两个不同的点中每一个点都有一个[开]邻域不包含另一个点(即若$x,y\in X,x\neq y$,则$x$有一个开邻域$U$使得$y\notin U$),则称$X$是一个$T_1$空间.

$T_1$空间都是$T_0$空间,反之则不一定.

设$X$是一个拓扑空间,则以下条件等价

$X$是一个$T_1$空间
$X$中每一个单点集都是闭集
$X$中么一个有限子集都是闭集

设$X$是一个$T_1$空间,则点$x\in X$是$X$的子集$A$的凝聚点当且仅当$x$的每一个邻域$U$中都含有$A$中的无限多个点,即$U\cap A$是一个无限集.

设$X$是一个$T_1$空间,则$X$中的一个由有限个点构成的序列$\lbrace x_i\rbrace$收敛于点$x\in X$当且仅当该序列最终仅取该收敛的值,即存在$N>0$使得$x_i=x$对于任何$i\ge N$成立.

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$中的任意两个不同的点中各自有一个[开]邻域使得这两个开邻域不相交,(即若$x,y\in X,x\neq y$,则$x$有一个开邻域$U$,$y$有一个开邻域$V$,使得$U\cap V=\varnothing$,则称$X$是一个$T_2$空间或Hausdorff空间.

$T_2$空间都是$T_1$空间,反之则不一定.

设$X$是一个包含无限多个点的有限补空间,则$X$是$T_1$空间,但$X$不是Hausforff空间.

Hausforff空间中的任何一个收敛序列只有一个极限点.

正则,正规,$T_3$,$T_4$空间

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$中的任意一个点$x$和任何一个不包含$x$的闭集$A$都各有一个[开]邻域$U,V$,使得$U\cap V=\varnothing$,则称$X$是一个正则空间.

设$X$是一个拓扑空间,则$X$是一个正则空间当且仅当对于任何点$x\in X$和$x$的任意一个开邻域$U$,存在一个$x$的开邻域$V$使得$\bar V\subset U$.

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$中的任意两个互不相交的闭集都各自有一个[开]邻域使得这两个开邻域不相交,(即若$A,B\subset X,A\cap B=\varnothing$,则$A$有一个开邻域$U$,$B$有一个开邻域$V$,使得$U\cap V=\varnothing$,则称$X$是一个正规空间.

设$X$是一个拓扑空间,则$X$是一个正规空间当且仅当对于任何闭集$A\subset X$和$A$的任意一个邻域$U$,存在一个$A$的开邻域$V$使得$\bar V\subset U$.

令$X=\lbrace1,2,3\rbrace$和$\mathscr{T}=\lbrace\varnothing,\lbrace1\rbrace,\lbrace2,3\rbrace,\lbrace1,2,3\rbrace\rbrace$,则$X$正则且正规,但不是$T_0$,$T_1$,$T_2$空间.
若有实数空间$(\mathbb{R},\mathscr{T})$,令$K=\lbrace\dfrac1n|n\in \mathbb{Z}_+\rbrace,\mathscr{T}_1=\lbrace G-E|G\in\mathscr{T},E\subset K\rbrace$,则$(\mathbb{R},\mathscr{T}_1)$是一个Hausdorff空间,但不是一个正则空间,也不是一个正规空间.
令$X=\lbrace1,2,3\rbrace,\mathscr{T}=\lbrace\varnothing,\lbrace1\rbrace,\lbrace2\rbrace,\lbrace1,2\rbrace,\lbrace1,2,3\rbrace\rbrace$,其是一个正规空间,但不是一个正则空间.

正则的$T_1$空间称为$T_3$空间,正规的$T_2$空间称为$T_4$空间.

$T_4$空间一定是$T_3$空间,$T_3$空间一定是$T_2$空间.

若有实数空间$(\mathbb{R},\mathscr{T})$,令$\mathscr{T}_1=\lbrace G-E|G\in\mathscr{T},E\in \mathbb{Q}\rbrace$,则$(\mathbb{R},\mathscr{T}_1)$是一个Horsdorff空间,但不是一个正则空间,也不是一个正规空间.
令$X=\lbrace(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2|x_2\ge0\rbrace,\mathscr{B}=\lbrace B(x,\varepsilon)|0<\varepsilon<x_2,x=(x_1,x_2)\in X\rbrace\cup\lbrace B(x,x_2)\cup\lbrace(x_1,0)\rbrace|x=(x_1,x_2)\in X\rbrace$.则拓扑$\mathscr{T}$以$\mathscr{B}$为基,拓扑空间$(X,\mathscr{T})$是一个$T_3$空间,正则空间,但不是正规空间.

度量空间都是$T_4$空间.

Urysohn引理,Tietze扩张定理

(Urysohn引理)设$X$是一个拓扑空间,$[a,b]$是一个闭区间,则$X$是一个正规空间当且仅当对于$X$中任意两个无交的闭集$A$和$B$,存在一个连续的映射$f:X\rightarrow[a,b]$使得当$x\in A$时$f(x)=a$和当$x\in B$时$f(x)=b$.

$T_4$空间中任何一个连通子集如果包含着多余一个点,则它一定是一个不可数集.

(Tietze扩张定理)设$X$是一个拓扑空间,$[a,b]$是一个闭区间,则$X$是一个正规空间当且仅当对于$X$中的任何一个闭集$A$和任何一个连续映射$f:A\rightarrow[a,b]$,有一个连续映射$g:X\rightarrow[a,b]$是$f$的扩张.

完全正则空间,Tychonoff空间

设$X$是一个拓扑空间,如果对于任意$x\in X$和$X$中的任何一个不包含$x$的闭集$B$,存在一个连续映射$f:X\rightarrow[0,1]$使得$f(x)=0$以及对任何$y\in B$有$f(y)=1$,则称$X$是一个完全正则空间.完全正则的$T_1$空间称为Tychonoff空间,或$T_{3.5}$空间.

完全正则空间都是正则空间.
Tychonoff空间都是$T_3$空间.
$T_4$空间都是Tychonoff空间.
正则且正规的空间都是完全正则空间.

(Tychonoff定理)正则的Lindelöff空间都是正规空间.

分离性公理与子空间,有限积空间,商空间

分离性公理都是拓扑不变公理.

$T_0,T_1,T_2,T_3,T_{3.5}$和正则都是可遗传性质.正规和$T_4$对于闭子空间是可遗传的性质.

$T_0,T_1,T_2,T_3,T_{3.
5}$和正则都是有限可积性质.正规和$T_4$不是有限可积性质.

所有分离公理都不是可商性质.

可度量化空间

(Urysohn嵌入定理)每一个满足第二可数性公理的$T_3$空间都同胚于Hilbert空间$\mathbb{H}$的某一个子空间.

Hilbert空间$\mathbb{H}$是一个可分空间.其满足第二可数性公理,也是Lindelöff空间.

设$X$是一个拓扑空间,则下列条件等价:

$X$是一个满足第二可数性公理的$T_3$(或$T_{3.5}$,或$T_4$)空间.
$X$同胚于Hilbert空间$\mathbb{H}$的某一个子空间.
$X$是一个可分(或满足第二可数公理,或Lindelöff)的可度量化的空间.

紧致性

紧致空间

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖,则称$X$是一个紧致空间.

紧致空间都是Lindelöff空间,但反之未必.
可数离散空间是Lindelöff空间,但不是紧致空间.
$\mathbb{R}$不是紧致空间.

设$X$是一个拓扑空间,$Y$是$X$的一个子集.如果$Y$作为$X$的子空间是一个紧致空间,则称$Y$是$X$的紧致子集.

设$X$是一个拓扑空间,$Y$是$X$的一个子集.则$Y$是$X$的紧致子集当且仅当每一个$X$中的开集构成的$Y$的覆盖都有有限子覆盖.

设$\mathscr{A}$是一个集族,如果$\mathscr{A}$的每一个有限子族都有非空的交(即如果$\mathscr{A}_1$是$\mathscr{A}$的一个有限子族,则$\bigcap\limits_{A\in\mathscr{A}_1}\neq\varnothing$),则称$\mathscr{A}$是一个具有有限交性质的集族.

设$X$是一个拓扑空间,则$X$是一个紧致空间当且仅当$X$中的每一个具有有限交性质的闭集族都有非空的交.(对每一个开覆盖取补集,就是交空的闭集族,有限子覆盖对应有限交空闭集族,取逆否命题就是集族的每一有限子族交不空,则集族交不空.)

设$\mathscr{B}$是拓扑空间$X$的一个基,且$X$中由$\mathscr{B}$中的元素构成的每一个覆盖有一个有限子覆盖,则$X$是一个紧致空间.

设$X$和$Y$是两个拓扑空间,$f:X\rightarrow Y$是一个连续映射,如果$A$是$X$的一个紧致子集,则$f(A)$是$Y$的一个紧致子集.

实数空间中的开区间与实数空间同胚,故不是紧致空间.

紧致空间中的每一个闭子集都是紧致子集.

每一个拓扑空间必定是某一个紧致空间的开子空间.(比如把直线单点紧化,生成圆周)(紧致性不可遗传)

设$X_1,X_2,\cdots,X_n$是$n$个紧致空间,则积空间$X_1\times X_2\times\cdots\times X_n$也是一个紧致空间.

紧致性与分离性公理

设$X$是一个Hausdorff空间.如果$A$是$X$的一个不包含点$x\in X$的紧致子集,则点$x$和紧致子集$A$分别有开邻域$U$和$V$使得$U\cap V=\varnothing$.

从而,Hausdorff空间的每一紧致子集都是闭集.

从而,每一个紧致的Hausdorff空间都是正则空间.从而是$T_3$空间.

设$X$是一个Hausdorff空间.如果$A$和$B$是$X$的两个无交的紧致子集,则它们分别有开邻域$U$和$V$使得$U\cap V=\varnothing$.

从而,每一个紧致的Hausdorff空间都是$T_4$的.

设$X$是一个正则空间.如果$A$是$X$中的一个紧致子集,$U$是$A$的一个开邻域,则存在$A$的一个开邻域使得$\bar V\subset U$.

从而,紧致的正则空间都是正规空间.这是显然的,因为紧致空间都是Lindelöff空间.

从紧致空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射都是闭映射.

从而,紧致空间到Hausdorff空间的任何一个一一的连续映射都是同胚.

$\mathbb{R}^n$中的紧致子集

设$(X,\rho)$是一个度量空间,$A\subset X$.如果存在实数$M>0$使得$\rho(x,y)<M$对所有$x,y\in A$成立,则称$A$是$X$的一个有界子集;如果$X$本身是一个有界子集,则称$X$是一个有界度量空间.

紧致度量空间是有界的.

单位闭区间$[0,1]$是紧致空间.

设$A$是$\mathbb{R}^n$的一个子集,则$A$是一个紧致子集当且仅当$A$是一个有界闭集.

设$X$是一个非空的紧致空间,$f:X\rightarrow\mathbb{R}$是一个连续映射,则存在$x_1,x_2$使得对于任意$x\in X$,有$f(x_1)\le f(x)\le f(x_2)$.

设$m,n\in\mathbb{Z}_+$,$n$维球面$S^n$和$m$维欧式空间$\mathbb{R}^m$不同胚.

其他的紧致性

设$X$是一个拓扑空间.如果$X$的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖,则称$X$是一个可数紧致空间.

每一个紧致空间都是可数紧致空间.

每一个Lindelöff的可数紧致空间都是紧致空间.

设$X$是一个拓扑空间.如果$X$的每一个无限子集都有凝聚点,则称$X$是一个列紧空间.

每一个可数紧致空间都是列紧空间.

设$X$是一个拓扑空间,则$X$是一个可数紧致空间当且仅当由$X$中任意一个非空闭集下降序列$\lbrace A_i\rbrace_{i\in\mathbb{Z}_+}$有非空的交,即$\bigcap\limits_{i\in\mathbb{Z}_+}A_i\neq\varnothing$.

每一个列紧的$T_1$空间都是可数紧致空间.

设$X$是一个拓扑空间.如果$X$中的每一个序列都有一个收敛的子序列,则称$X$是一个序列紧致空间.

每一个序列紧致空间都是可数紧致空间.

每一个满足第一可数性公理的可数紧致空间都是序列紧致空间.

从而,设$X$是一个满足第一可数性公理的$T_1$空间,$A$是$X$的一个子集,则下列条件等价

$A$的每个开覆盖都有有限子覆盖
$A$的每一个可数开覆盖都有有限子覆盖
$A$中的每一个序列都有子序列收敛于$A$中的点
$A$中的每一个无限子集都有凝聚点在$A$中

特别地,$\mathbb{R}^n$中上述推论也成立，且都等价于$A$是一个有界闭集.

度量空间的紧致性

设$(X,\rho)$是一个度量空间$\mathscr{A}$是$X$的一个开覆盖.实数$\lambda>0$称为开覆盖$\mathscr{A}$的一个Lebesgue数,如果对于$X$中的任何一个子集$A$,只要直径$\mathrm{diam}(A)<\lambda$,则$A$包含于开覆盖$\mathscr{A}$的某一个元素之中.

(Lebesgue数定理)序列紧致的度量空间的每一个开覆盖有一个Lebesgue数.

每一个序列紧致的度量空间都是紧致空间.

因此,设$X$是一个度量空间,则下列条件等价:

$X$是一个紧致空间
$X$是一个紧列空间
$X$是一个序列紧致空间
$X$是一个可数紧致空间

局部紧致空间,仿紧致空间

设$X$是一个拓扑空间.如果$X$中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称$X$是一个局部紧致空间.

每一个紧致空间都是局部紧致空间.
$\mathbb{R}^n$是局部紧致空间.

每一个局部紧致的Hausdorff空间都是正则空间.

设$X$是一个局部紧致的正则空间,$x\in X$,则点$x$的所有紧致邻域构成$X$在$x$的一个邻域基.

每一个局部紧致的正则空间都是完全正则空间.

设集族$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$都是集合$X$的覆盖.如果$\mathscr{A}$中的每一个元素包含于$\mathscr{B}$的某一个元素中,则称$\mathscr{A}$是$\mathscr{B}$的一个加细.

设$X$是一个拓扑空间.$\mathscr{A}$是$X$的子集$A$的一个覆盖.如果对于每一个$x\in A$,点$x$有一个邻域$U$仅与$\mathscr{A}$中的有限个元素有非空的交,即$\lbrace A\in\mathscr{A}|A\cap U\neq\varnothing\rbrace$是一个有限集,则称$\mathscr{A}$是集合$A$的局部有限覆盖.

在实数空间中,令$\mathscr{A}=\lbrace(n-1,n+1)|n\in\mathbb{Z}\rbrace.\mathscr{B}=\lbrace(-n,n)|n\in\mathbb{Z}_+\rbrace$,则$\mathscr{A}$和$\mathscr{B}$都是$\mathbb{R}$的开覆盖,且$\mathscr{A}$是$\mathscr{B}$的加细,而$\mathscr{B}$不是$\mathscr{A}$的加细.$\mathscr{A}$是局部有限覆盖,而$\mathscr{B}$不是局部有限覆盖.

设$X$是一个拓扑空间.如果$X$的每一个开覆盖都有一个局部有限的开覆盖是它的加细,则称$X$是一个仿紧致空间.

紧致空间都是仿紧致空间.
离散空间都是仿紧致空间.

每一个仿紧致的正则空间都是正规空间.

每一个仿紧致的Hausdorff空间都是正则空间,因而也是正规空间.

设$X$是一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间.则$X$有一个开覆盖$\lbrace V_1,V_2,\cdots,\rbrace$满足条件:对于每一个$i\in\mathbb{Z}_+$,闭包$\overline{V_i}$是一个包含于$V_{i+1}$的紧致子集.

每一个满足第二可数性公理的局部紧致的Hausdorff空间都是仿紧致空间.

完备度量空间

度量空间的完备化

设$(X,\rho)$是一个度量空间,$X$中的一个序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in\mathbb{Z}_+}$,如果对于任意给定的实数$\varepsilon>0$存在整数$N>0$使得当$i,j>N$时有$\rho(x_i,x_j)<\varepsilon$,就称序列$\lbrace x_i\rbrace_{i\in\mathbb{Z}_+}$是一个Cauchy序列.如果$X$中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间$(X,\rho)$是一个完备度量空间.

度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之则不然.
实数空间$\mathbb{R}$是一个完备度量空间.
有理数集$\mathbb{Q}$不是一个完备度量空间.
完备性不是拓扑不变性质.

完备度量空间中的每一个闭的度量子空间都是完备度量空间.

设$(X,\rho)$是一个度量空间,$Y\subset X$,如果$Y$中的每一个Cauchy序列都在$X$中收敛,则$Y$的闭包$\bar Y$中的每一个Cauchy序列也都在$X$中收敛.

设$(X,\rho)$是一个度量空间,$Y$是$X$的一个稠密子集.如果$Y$中的每一个Cauchy序列都在$X$中收敛,则$X$是一个完备度量空间.

$n$维欧式空间$\mathbb{R}^n$和Hilbert空间$\mathbb{H}$都是完备度量空间.

设$(X,\rho)$和$(Y,d)$是两个度量空间,$f:X\rightarrow Y$如果对于任意$x_1,x_2\in X$有$d(f(x_1),f(x_2))=\rho(x_1,x_2)$,则称$f$是一个保距映射.如果存在一个从$X$到$Y$的满的保距映射,则称$(X,\rho)$和$(Y,d)$同距.

保距映射一定是单射.
保距映射的复合还是保距映射.
满的保距映射的逆映射还是保距映射.
同距关系是等价关系.
满的保距映射一定是一个同胚,同距的度量空间是同胚的.

设$X$是一个度量空间,$Y$是一个完备度量空间.如果$X$和$Y$的一个稠密的度量子空间同距,则称$Y$是$X$的一个完备化.

实数空间$\mathbb{R}$就是有理数空间$\mathbb{Q}$的完备化.

每一个度量空间都有完备化.且任意两个完备化同距.

从而.完备度量空间的任何一个完备化都与这个完备空间同距.

度量空间的完备性和紧致性,Baire定理

设$(X,\rho)$是一个度量空间,实数$\varepsilon>0$,$X$的有限子集$A$称为一个$\varepsilon$-网,如果对于任何$x\in X$有$\varrho(x,A)<\varepsilon$.如果对于任何实数$\varepsilon>0$,$X$有一个$\varepsilon$-网,则称度量空间$(X,\rho)$是完全有界的.

完全有界的度量空间都是有界的,反之则不然.
无限多个点的离散空间是有界的但不是完全有界的.

设$(X,\rho)$是一个度量空间,则$(X,\rho)$是紧致的当且仅当$(X,\rho)$是一个完全有界的完备度量空间.

设$(X,\rho)$是一个完备度量空间,如果由$X$的子集构成的一个序列$\lbrace E_1,E_2,\cdots\rbrace$满足条件$E_1\supset E_2\supset\cdots$和$\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\mathrm{diam}(E_i)=0$,则$\bigcap\limits_{i\in\mathbb{Z}_+}\overline{E_i}$是一个单点集.

(Baire定理) 设$(X,\rho)$是一个完备度量空间,如果$G_1,G_2,\cdots$是$X$中的可数个稠密的开集,则交集$\bigcap\limits_{i\in\mathbb{Z}_+}\overline{G_i}$是$X$中的一个稠密子集.

设$X$是一个拓扑空间,如果$X$的子集$A$的闭包的内部是空集,则称$A$为$X$的一个无处稠密子集.$X$的子集$F$如果可以表示为$X$中可数个无处稠密子集之并,则称$F$为第一范畴集;$X$的子集,如果不是第一范畴集,则称为第二范畴集.