在上一讲中, 根据微分与积分是微积分这门学科中的主要对立运算的观点, 阐述了微积分这门学科的内容是由三部分组成, 即微分、积分、指出微分与积分是一组对立运算的微积分基本定理, 并且着重(讲了)多元微积分中指出微分和积分是一组对立运算的微积分基本定理, 即 Stokes 公式, 这时用了外微分形式才把这点说清楚。对这个公式, 我们还强调这是微积分的顶峰, 是从古典走向近代的公式, 即使在微分流形上, 这个公式依然成立, 且是其中最重要的公式之一。
在微积分中, 除了微分与积分这组对立运算外, 还有没有其他一些次要的对立? 这当然有。 例如: 离散与连续、局部与整体、有限与无限、数与形、特殊与一般等, 这些对立几乎在数学的所有分支中都扮演着重要的角色, 在微积分这门学科中当然也是这样。 在这一讲中, 我们将继续用对立统一的观点来考察与认识微积分中的一些主要内容, 为了易于说清楚, 这里着重讲的是一元微积分。
在这一节中, 我们由微分与积分是微积分这门课程的主要对立的观点, 来梳理清楚微积分的一些定理与公式。在这个观点下, 原则上讲, 微分中的一个定理或公式, 在积分中也应有相应的定理与公式。反之亦然, 即它们之间是相互对应的。 也就是说, 它们之间, 既是对立的(一个是微分的形式, 一个是积分的形式), 又是统一的 (它们表达的往往是同一件事, 是同一件事物的两种不同的表达形式)。 在数学中引入一个概念或运算之后, 往往就要讨论作用到被作用之对象的算术 (arithemetic), 即加、减、乘、除, 作用到被作用之对象的合成(composition), 作用到被作用之对象的逆(inverse)等等, 这几乎是例行公事。在微积分中, 运算是微分与积分, 被作用之对象是函数, 于是就有了双方的相应的公式。
对于微分运算来讲, 我们有如下的公式(写成导数形式, 假设函数都是可微的):
对积分运算来讲, 可以将公式 (1)$-$(6) 写成积分形式。如与 (1)、 (3)、 (5) 相应的是(写成不定积分形式, 假设函数都是可积的):
当然也可写出与 $(2)$、 $(4)$、 $(6)$ 相应的 $(2^\prime)$、 $(4^\prime)$、 $(6^\prime)$。 但只要仔细分析一下, 公式 $(2)$ 可由 $(1)$ 推出, 只要将 $u(x)-v(x)$ 写成 $u(x)+ (-v(x))$ 即可; 公式 $(4)$ 可由公式 $(3)$ 推出, 只要对 $$\Big(\frac{u(x)}{v(x)}\Big)v(x)=u(x)$$ 两边求导数即可; 公式 $(6)$ 可由 $(5)$ 推出, 只要对 $g(f(x))=x$ 两边求导数即可, 所以在微分运算中, 重要而具有本质性的公式是 $(1)$、 $(3)$ 及 $(5)$。
同样的, 在积分运算中, 重要的具有本质性的公式是其相应的公式 $(1^\prime)$、 $(3^\prime)$ 及 $(5^\prime)$, 而这三个公式, 就是微积分书中必讲的积分计算的三种主要方法。其中公式 $(1^\prime)$ 之用途非常之广，尤其用于求有理函数的积分 $$ \int\frac{P(x)}{Q(x)}dx, $$ 其中 $P(x)$ 与 $Q(x)$ 均为多项式, 将 $\frac{P(x)}{Q(x)}$ 分拆成多个有理分式之和, 每个有理分式的分母为一次或二次多项式, 分子为次数低于分母的一次多项式或常数, 然后逐个求积分; 公式 $(3^\prime)$ 就是部分积分法; 公式 $(5^\prime)$ 就是换元法 (即变换变数法)。 所以微分运算中的三个主要公式$(1)$、 $(3)$ 及 $(5)$, 在积分运算中就对应求积分的三个主要方法, 即: 将被积函数分拆成几个易于求积分的函数之和, 然后分别求积分; 部分积分法和换元法, 而这些组成了一元微积分中的微分运算与积分运算的主要内容。 微分运算中的三个主要公式, 与积分运算中的三个主要方法, 说的实际上是一件事, 不过用不同形式表达而已。
在微积分的教科书中, 都会列上两张表, 一张是微分的公式表, 一张是积分的公式表, 而这两张表, 实际上是初等函数的微分与积分公式表。在这两张表中, 微分公式与积分公式往往是一一对应的, 即说的是同一件事, 不过用不同形式来表达而已。 例如: 微分公式表(写成导数的形式) 大致上都会包括以下的这些公式:
对积分公式来讲, 可以将公式 (a)$-$(o) 写成积分形式, 如与 (b), (c), (i), (j) 相应的公式是(写成不定积分形式):
当然也可以写出与微分公式表中其余的公式相应的公式。
但再仔细分析一下, 在微分公式表中, 最最重要的是公式 (b), (c), (i) , (j), 因为所有其他的公式都可以很容易从公式 (b), (c), (i) , (j)以及 (1)$-$(6) 中推导出来。而积分公式 (b$^\prime)$, (c$^\prime)$, (i$^\prime)$, (j$^\prime)$ 与微分公式 (b), (c), (i), (j) 实际上说的是同一件事, 只是用不同形式表达而已。
从上面论述中还可以看到, 在学习中往往会遇到很多公式, 但这许多公式中, 不是每一条同样重要的, 有的很重要, 有的不很重要, 那些从这些公式中可以导出其他的公式的, 往往是重要的、 本质的, 例如前面说到的 $(1)$, $(3)$, $(5)$, (b), (c), (i), (j) 等。 这些最重要的公式往往是十分简单, 易于记忆的。这样在学习过程中只要记住这几个最简单, 但却是最重要的公式就可以了。大可不必要去记一大堆公式, 而这是难于做到的。实在要用时, 去查一下就可以了。再加上由于微分公式与积分公式是相互一一对应的, 是同一件事的两种不同表达方式, 明白了这点就可以知其一而立即知其二, 这样要记住的东西就更少了。实际上, 要记住的东西愈少愈易记住, 愈多愈难记住。
在一元微积分中, 有两个重要的定理, 叫中值定理 (Mean Value Theorem)。
微分中值定理: 若 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上可微, 则在 $[a, b]$ 中一定存在一点 $\xi$, 使得 $$F(b)-F(a)= F^\prime(\xi)(b-a).$$
积分中值定理: 若 $f(x)$ 是 $[a, b]$ 上的连续函数, 则在 $[a, b]$ 中一定存在一点 $\xi$, 使得 $$\int_a^b f(x) dx= f(\xi)(b-a).$$
这两个中值定理有十分明确的几何意义。微分中值定理表示在 $[a, b]$ 中一定存在一点 $\xi$, 曲线 $y=F(x)$ 在这点的切线平行于连结点 $(a, F(a))$ 与 $(b, F(b))$ 的割线 (见图3.1); 而积分中值定理表示在 $[a, b]$ 中一定存在一点 $\xi$, 曲线 $y=f(x)$ 在 $[a, b]$ 上覆盖的曲线梯形的面积等于以 $b-a$ 及 $f(\xi)$ 为边长的长方形面积 (见图3.2)。 因此, 从表面上看, 这两个中值定理是两个完全不同的几何定理, 一个定理说的是切线(即微分), 一个说的是面积(即积分), 而已知“求切线”( 微分) 与“求面积”(积分) 是互为逆运算, 所以当我们令 $$ \int_a^x\, f(t)\, dt =F(x) $$ 时, 就可发现, 这两个中值定理实际上说的同一件事, 只是一个用微分形式来表达, 一个用积分形式来表达而已。
当然还有在第二讲第一节中说到最为重要的一元微积分的基本定理, 它有微分形式, 也有积分形式, 而这两种形式说的是同一件事。
在一元微积分中, 还有重要的泰勒 (Broox Taylor, 1685-1731) 展开式: 若 $f(x)$ 在 $x=a$ 点附近是 $n+1$ 次可微的, 则 $f(x)$ 在 $x=a$ 的附近可以写成 $$ f(x)=f(a)+f^\prime(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x) $$ 其中$R_n(x)$称为Taylor展开式中的余项。
这个公式可以用多次求导数得到, 也可用多次分部积分法得到, 而余项 $R_n(x)$ 既可表达成微分形式 $$ R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)(x-a)^{n+1}}{(n+1)!} $$ 式中$\xi$位于$a$与$x$之间, $R_n(x)$也可表成积分形式: $$ R_n(x)=\frac{1}{n!}\int_a^x \, (x-t)^nf^{(n+1)}(t)\, dt $$ 我们可以证明: 这两个余项公式, 利用中值定理是相互可以推导的, 这些都是微分与积分这组对立运算在Taylor展开式上的体现。顺便说一下, Taylor展开式在一元微积分中是很重要的, 因为求极值的问题, 中值定理, G.F.A.L'Hospital (1661-1704) 法则等都是它的简单推论。 作为一元微积分的理论部分(还有应用部分), 上述论及的那些结果, 虽然不是它的全部, 却也是其中极为重要的部分。所以, 如果我们紧紧抓住微分与积分是微积分中互为对立运算的观点, 那么, 理解一元微积分就显得十分自然、 容易与简单了。
在微积分课程中的定义、 公式及定理, 往往说的是一般的连续函数、 可微函数或可积函数。 但是, 例题与习题的大部份却是讨论以下三个大家十分熟悉的初等函数以及它们的合成函数。 甚至可以说, 微积分教材中有很大的篇幅是用来讨论初等函数的, 所谓的初等函数是指由下列初等函数及其合成函数所组成, 这三个初等函数为:
初等函数为什么这样重要? 可以至少从以下几点来加以说明: 首先, 人们熟悉的大量自然现象与社会现象是可以用初等函数来描述或近似描述。 最最简单的如: 自由落体、 人口增长、 利息计算等等。 在这方面, 美国的有些微积分教材就写得比较详尽, 在微积分教学一开始就让同学通过计算机认识这些初等函数及其合成函数的图形, 并有大量的实际的(不全是虚构的)例题与习题来认识这些初等函数, 让同学们认识到大量的自然现象与社会现象的模型(或近似的模型)是用初等函数描述的, 并通过对初等函数的讨论, 可以得到对这些现象的进一步认识。
不是初等函数及其合成函数的函数称为特殊函数或超越函数, 这往往是为了讨论某一个特定的问题而产生的。 这在微积分教材及以后有关课程中会不断地遇到。但这些特殊函数实际上往往都是从初等函数演化过来的, 并且由初等函数来表达的, 而这些特殊函数的一些性质, 也可以由初等函数的性质得到。例如, 大家十分熟悉的 $\Gamma$ 函数 $$ \Gamma(s)=\int_0^\infty \, t^{s-1}e^{-t}\, dt\qquad (s\gt 0) $$ 和 ${\mathcal B}$ 函数 $$ {\mathcal B}(p, q)=\int_0^1\, t^{p-1}(1-t)^{q-1}\, dt\qquad (p\gt 0, \quad q\gt 0) $$ 都不是初等函数, 但却是初等函数的积分, 所以, 它们的一些性质都可以从初等函数的性质导出。 因此, 初等函数了解得愈清楚, 我们就愈能掌控非初等函数的性质, 这是初等函数重要性的第二点说明。 更为重要的是以下的第三点说明。
在微积分中, 有一个非常重要的部分就是级数理论。 可以这样来理解: 由于对一般函数的研究与讨论并非那么容易, 于是有了用初等函数来表示或逼近的想法, 这是因为对初等函数是很易于讨论与研究。这样的表示或逼近是在一点附近展开的, 且清楚地刻画了这个函数在这一点附近的行为, 所以这是很有用的做法, 也可以说, 为什么微积分以前也被称作为: “无穷小分析”的原因。 用幂级数来表示一般函数 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处的级数为 $$ f(x)=f(a)+f^\prime(a)(x-a)+\frac{f^{\prime\prime}(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots $$ 这是大家熟悉的Taylor级数, 如果在右边只取二项, $y=f(a)+f^\prime (a)(x-a)$, 这是 $f(x)$ 在$x=a$处的切线, 也就是用切线来近似 $f(x)$ 在 $x=a$ 附近的行为, 这是将函数在一点附近局部线性化。 在 $x=a$ 附近用上式右边的有限项, 即多项式来逼近 $f(x)$, 这就是前面提到的 Taylor 多项式。 同样, 用三角函数的级数来表示一般函数$f(x)$, 这就是 Fourier 级数 $$ f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^\infty \big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big) $$ 这里 $$ a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\, f(x)\cos nx\, dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi\, f(x)\sin nx\, dx, $$ $n=0, 1, 2, \ldots$被称为Fourier系数。 由于三角函数的週期性, $f(x)$ 也要假设是週期函数 (这个假设其实并不重要)。
用 Fourier 级数的有限项来逼近 $f(x)$, 这就是 Fourier 三角多项式。如同 Taylor 级数、 Taylor展开式一样, Fourier级数及Fourier三角多项式也是局部性质, 即在一点的附近进行研究与讨论。 至于为什么没有用指数函数的级数或多项式来表示或逼近一般的函数, 一方面当然可以用函数系统的正交性、 完备性等来解释, 但也可以用前面所说的复分析的观点来解释。因为在此观点下, 指数函数与三角函数是可以相互表达的。事实上, 用 Euler 公式 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, 上述Fourier级数也可以写为 $$ f(x)=\sum_{k=-\infty}^\infty c_ke^{ikx} $$ 这里 $$ c_k= \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi\, f(x)e^{ikx}\, dx, \quad k=0, \pm1, \pm 2, \ldots . $$ 在这种认识下, 在微积分中, Taylor 级数及展开式与 Fourier 级数及展开式成为最基本的内容之一, 其实这也是十分自然的事, 而这实质上就是用初等函数来表示与逼近一般的函数。 这种想法, 到了高维空间, 也一样的重要, 例如: $x=[x_1\dots x_n]^T$ 是在 $n$ 维Euclid空间中一个区域 $D$ 中的点, $$ f(x)=\left[\begin{matrix} f_1(x)\\ \vdots\\ f_n(x)\end{matrix}\right] $$ 是$D$上定义的无穷次可微函数, $a=[a_1,\ldots, a_n]^T\in D$, 则$f(x)$ 在$x=a$ 点附近可展开成Taylor级数 $$ \left[\begin{matrix} f_1(x)\\ \vdots\\ f_n(x)\end{matrix}\right] =\left[\begin{matrix} f_1(a)\\ \vdots\\ f_n(a)\end{matrix}\right] +\left[\begin{matrix} \frac{tial f_1}{tial x_1}(a)&\cdots & \frac{tial f_n}{tial x_1}(a) \\ \vdots & &\vdots \\ \frac{tial f_n}{tial x_1}(a)&\cdots &\frac{tial f_n} {tial x_n}(a) \end{matrix}\right]+\cdots $$ 这也可以写成 $$ f(x)=f(a)+J_f(a)(x-a)+\cdots $$ 此处 $J_f$ 为 $f$ 的 Jacobi 矩阵在 $a$ 点取值, 如果在上式只取二项 $f(a)+J_f(a)(x-a)$, 则这是将函数在 $x=a$ 点的局部线性化。而对它进行讨论, 就化为对矩阵 $J_f(a)$ 进行讨论。但这是线性代数的事了, 因此, 大致上可以说, 微积分将函数进行局部线性化, 之后是线性代数的工作了。
从上述的讨论中可以看出: 三个初等函数与一般的连续函数、 可微函数及可积函数的关系是特殊与一般的关系。 人们通过用特殊的函数 (三个初等函数)的表示与逼近来认识一般的函数(连续函数、 可微函数及可积函数); 另一方面, 在微积分中几乎所有的定义、 定理与公式都是对一般的函数说的, 但大部分的例题与习题却是讨论这特殊的三个初等函数以及它们的合成函数的, 通过对这些特殊函数的讨论来认识这些一般的函数的定义、 定理与公式。
在微积分这门学科中, 还存在着很多对立。它们是在微分与积分这对主要对立运算下存在和发展, 并且也起着重要作用。在本讲一开始, 就列举了一些这样的对立。在这一节中, 将就离散与连续这组对立多做一些介绍, 而对其他的对立只略略地介绍。
关于离散与连续这组对立在微积分中的体认, 最易说明的例子是级数与积分, 数项级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n$与无穷积分$\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$, 就是离散与连续的关系; 函数项级数$\sum_{n=0}^\infty\, u_n(x)$与含参变量的无穷积分$\int_0^{\infty}\, f(u, x)du$, 就是离散与连续的关系; Fourier级数 $$ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty \big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big) $$ 与Fourier积分 $$ \frac {1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} d\lambda \, \int_{-\infty}^{+\infty}\, f(\xi) e^{-i\lambda(\xi-\lambda)}d\xi $$ 也是离散与连续的关系。无穷级数、 函数项级数与 Fourier 级数都是离散地求和, 且它们发展起来的理论、 定理与公式, 都是离散形式的理论、 定理与公式; 而无穷积分、 含参变量的无穷积分与 Fourier 积分都是连续地求和, 且它们发展起来的理论、 定理与公式, 都是连续形式的理论、 定理与公式。 在离散与连续是一组对立的观点下, 这些微积分的定理与公式, 往往是有一个离散形式的定理与公式, 就会有一个连续形式的定理与公式, 反之亦然。 这是离散与连续这组对立在微积分中的具体体认。现在举几个极为简单的例子来说明之。
例1: 对无穷级数, 有如下一个大家十分熟悉的Cauchy判别准则(Cauchy Criterion): 无穷级数 $$ \sum_{k=0}^\infty a_k= a_0+a_1+\cdots +a_n+\cdots $$ 收敛的充分必要条件为: 对任一给定的 $\varepsilon\gt 0$, 一定存在一自然数 $N(\varepsilon)$, 当 $n\gt m\gt N$ 时, $$ \big| S_n-S_m\big|\lt \varepsilon $$ 成立, 即 $$ \big|a_{m+1}+a_{m+2}+\cdots+a_n\big|\lt \varepsilon $$ 成立, 这里$S_n=a_0+a_1+\cdots+a_n$, $n=1, 2, \ldots$ 是无穷级数的 $n$ 项部分和。
对于无穷积分, 有如下一条与之对应的Cauchy判别准则: 积分 $$ \int_{a}^{+\infty}\, f(x)dx $$ 收敛的充分必要条件为: 对任一给定的 $\varepsilon\gt 0$, 一定存在$X\gt a$, 只要 $x$, $x' \gt X$ 时, $$ \Big| \int_x^{x^\prime}\, f(x)dx \Big|\lt \varepsilon $$ 比较这两条判别准则, 其差别只是: 一个是离散地求和, 一个是连续地求和(即积分), 两者本质上完全一样, 这是离散与连续这组对立在收敛判别准则上的体认。
例2. 对函数项级数, 有如下的 Cauchy 判别准则: 函数项级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上一致收敛的充分必要条件是: 对任一给定的 $\varepsilon\gt 0$, 一定有不依赖于 $x$ 的自然数 $N$ 存在, 使得当 $n\gt N$ 时, $$ \big|u_{n+1}(x)+u_{n+2}(x)+\cdots+u_{n+m}(x)\big|\lt \varepsilon $$ 对所有 $m\gt 0$ 都成立。
对于含参变量的无穷积分, 有如下一条与之对应的 Cauchy 判别准则: $\int_0^\infty\, f(u, x)du$ 在 $[a, b]$上一致收敛的充分必要条件为: 对任一给定的 $\varepsilon\gt 0$, 总存在一个仅与 $\varepsilon$ 有关的 $A_0$, 使得当 $A, \, A^\prime\gt A_0$ 时, $$ \Big| \int_A^{A^\prime}\, f(u, x)du \Big|\lt \varepsilon $$ 对所有 $[a, b]$ 上的 $x$ 都成立。
比较这两条判别准则, 其差别仍然是: 一个是离散地求和, 一个是连续地求和(即积分), 尽管表面上看来有差别, 但本质上完全一样, 这也是离散与连续这组对立在收敛判别准则上的体认。
例3. 在 Fourier 级数中, 有这样一条定理, 若 $f(x)$ 是在 $[0, 2\pi]$ 上 H. L. Lebesgue (1875-1941) 平方可积的函数 (将在第五章中论及这种积分), 则 Parsevel 等式 $$ \frac{1}{\pi}\int_0^{2\pi}\, f^2(x)dx= \frac{1}{2}a_0^2+\sum_{n=1}^\infty\big(a_n^2+b_n^2\big) $$ 成立, 这里 $a_n\, b_n$ 为 $f(x)$ 的 Fourier 级数 $$ \frac{a_0}{2}+\sum_{n=0}^\infty \big(a_n\cos nx+b_n\sin nx\big) $$ 的 Fourier 系数。
在 Fourier 积分中, 有与 Parsevel 等式相当的普朗歇尔 (Plancherel) 等式: 若 $f(x)$ 是 $(-\infty, \infty)$ 上 Lebesgue 平方可积函数, 称 $$ \hat f(\xi)=\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}\, f(x)e^{-ix\cdot \xi} dx $$ 为 $f$ 的 Fourier 变换 (与 Fourier 级数中的 Fourier 系数相当) , 则 $$ \int_{-\infty}^{+\infty}\, \big| \hat f(\xi)\big|^2 d\xi=\int_{-\infty}^{+\infty}\, f^2(x) dx $$ 成立。
比较 Parsevel 等式与 Plancherel 等式, 在等式的右边, 一个是离散地求和(级数), 一个是连续地求和(即积分) , 但它们都是用来表达 $\int f^2(x)dx$ (即 $f$ 的范数的平方) 与 $f$ 的 Fourier 系数之间的关系的。所以本质上是一样的。 这是离散与连续这组对立在Fourier 分析 中的体现。当然, 在微积分中, 这样离散与连续这组对立的种种体现, 还可以举出很多来。
不仅如此, 离散与连续这组对立是可以相互转化的。 例如: 求函数所描绘的曲线覆盖下的曲边梯形的面积(连续求和) 是通过 Riemann 和 (离散求和) 取极限过程得到的。而一些级数求和 (离散求和) 是通过积分求和 (连续求和) 得到的, 反之亦然。 再例如: 函数 $f(x)$ 的微分 $df=f^\prime(x)dx$ 是连续的差, 差分 $$ \Delta f=f(x+\Delta x)-f(x) $$ 是离散的差。因此, 从原则上讲, 有微分的公式或定理, 也应有与之相对应的差分的公式或定理。 反之亦然, 且微分与差分之间可相互表达、 相互转化。
离散与连续在数学的其他分支中都有所体现, 可以举出更多这样的例子, 这里只说一个。由V. Volterra (1860-1940)、 E.I. Freholm (1866-1927) 以及Hilbert等建立起来的积分方程理论的一个基本想法是将积分方程(连续) 化为线性方程组(离散)来考虑，然后再回到积分方程中来。
关于离散与连续这组对立就说到这里, 对于其他的对立, 只是十分简略地介绍一下。 我们知道, 微分是局部性质，积分是整体性质，微积分的基本定理刻画了局部性质 (微分)与整体性质(积分)之间的关系。数学中的无限的概念是由现实中的有限建立起来的。 如级数求和、无穷积分、Taylor级数等等都是从求级数的部分和、有限的上、下限的积分、 Taylor展开式等有限的量，通过求极限而得到的。反之，一些有限的量是可以通过求无限的量而得到的。 有限和无限这组对立，在微积分中可以说是贯彻始终的。同样，数与形这组对立也是这样。 如函数表示了曲线、曲面等，曲线、曲面可以用函数来表达。 如二次方程表示了二次曲线、二次曲面。反之，一些几何的量可以用数的关系表达出来，如曲率等。 一些数量关系的推导可以导出几何图形的意义。反之，一些几何图形的考察与研究可以导出数量关系。 至于导数表示切线方向，积分表示面积等，更是在微积分一开始就体现了数与形这组对立的例子。 至于特殊与一般这组对立在上一节中已讨论过的三个初等函数与一般函数之间的关系就是一个例子。
---本文作者龚昇任教于中国科技大学; 张德健任教于美国 Georgetown University 数学系---