《代数方程及函数概念》密勒(S. A. Miller), 白黎斯(Gilbert Ames Bliss)著 ; 郑太朴译
15. 三次方程.解一普通三次方程,于解二次方程所需的演算法外,还须要开立方根的方法.然三次方面,开方之准备不若二次方面之明显.事实上,有许多数学家试过此项先引的转换未成.后来有意大利数学家名法罗(Scipione del Ferro)者始成功.自此后,有许多不同的解法,并有许多关于三次方程的文字作出.这些解法中,有许多其所根据的理论不能应用$n$次之普通方程,但就三次而言,却极雅观.但我们这里先用一方法,包括许多极可注意的普通定理但须用冗长的算者,盖广被的思想较之简单的特别方法于数学家较切要.
用13节内所说方法,可将一普通三次方程之第二项迁去,于是其形式即作$x^{3}+q x+r=0$.
设$x_1,x_2,x_3$为此方程之根,今可一论以下函数:
$\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right),\quad\left(x_{1}+\omega x_{2}+\omega^{2} x_{3}\right)^{3},\quad\left(x_{1}+\omega^{2} x_{2}+\omega x_{3}\right)^{3}.$
这里$\omega=\frac{-1+i\sqrt3}2$.可观察当这些函数中任何其一在此诸根之一置代上不变动时,其他二者亦然.即是,每一函数由此诸根之同的置代转换成自己.因凡二有理函数为同的置代所换成自己者,能互相有理的表出(11节),故知这里每一函数能互相有理的表出.此中第一函数之平方是相称的,所以此平方可用初等相称函数$q$与$r$有理的表出之,如11节中所说.
此普通的定理使我们能明白三次方程之如何解法.今试将$(x_1-x_2)(x_1-x_3)(x_2-x_3)$作为$q$与$r$之有理函数之平方根表出之,则其他二函数均可作此方根之有理函数,而开此有理函数之立方根.如是,可求以下二者之值:$x_{1}+\omega x_{2}+\omega^{2} x_{3}, \quad x_{1}+\omega^{2} x_{2}+\omega x_{3}$,但我们知道$x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$,于是得三个未知数的一次方程;由此,已不难得此项未知数之值了.这里须注意到,此种普通方法能使我们于演算之前,先明白如何以求其根.而此未运算先明白事物则实是数学中之重要趋向.正则言之,纯粹数学中应当思想在前,不当运算之后才思想.运算作出如下:
不妨设$\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)>0$,则
$\left(x_{1}-x_{2}\right)\left(x_{1}-x_{3}\right)\left(x_{2}-x_{3}\right)=\sqrt{-4 q^{3}-27 r^{2}}$
$x_{1}+\omega x_{2}+\omega^{2} x_{3}=\sqrt[3]{-\frac{27}{2} r+\frac{3}{2} \sqrt{12 q^{2}+81 r^{2}}}$;
$x_{1}+\omega^{2} x_{2}+\omega x_{3}=\sqrt[3]{-\frac{27}{2} r-\frac{3}{2} \sqrt{12 q^{3}+81 r^{2}}}$;
$x_{1}+x_{2}+x_{3}=0$.
然后将三方程相加,可得$x_{1}=\sqrt[3]{-\frac{r}{2}+\sqrt{\frac{r^{2}}{4}+\frac{q^{3}}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{r}{2}-\sqrt{\frac{r^{2}}{4}+\frac{q^{3}}{27}}}$
此即是所谓卡大氏式,因他最先发表此.实际上,卡氏得之㗳德格拉(Tartaglia),并许㗳氏守秘密,后来却背约,将其发表在他1545年出版的书中.
1591年时,法国数学家维他曾作出一雅观的,简单的,三次方程之解法.他先将普通的方程化作以下形式:$$x^{3}+3 a x=2 b$$而设$x=\frac{a-y^{2}}{y}$,则此方程作二次方程之形式,故极易得$y$之可能的值,既得后即可代入$x=\frac{a-y^{2}}{y}$以求$x$之值.
还有其他许多简法,这里不再述.
16. 四次方程.我们可以见到,解普通的四次方程,不需要开方及开立方根以外之其他非有理算法.故解四次方程所用算法与三次者同格式.如前三次者那样,这里先述一方法,因其明晰及所合思想之广,颇有价值,不过自实用上言之,则较为不简单.在有许多方程上,下面的法极有利.
我们可假定,将普通的四次方程已化作此形式:$x^{4}+q x^{2}+r x+s=0$,而其根则为$x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$,下面的三函数,用此诸根每一置代,可见其均转换成自己或互相转换成:
$\left(x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}\right)^{2}, \quad\left(x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}\right)^{2},\quad\left(x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}\right)^{2}$
故以此三函数为根的三方程,其系数必为$x_1,x_2,x_3,x_4$之相称函数.因这些相称函数可作为初等相称函数$q,r,s$之整函数表出,故知此三次方程在这些初等相称函数所构成的有理性领域内.
事实上,此三次方程为$$y^{3}+8 q y^{2}+\left(16 q^{2}-64 s\right) y-64 r^{2}=0$$解此三次方程,并以$\theta_1,\theta_2,\theta_3$表其三根,则得以下四未知数的四个一次方程\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{1}+x_{2}-x_{3}-x_{4}=\sqrt{\theta_{1}} \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}-x_{4}=\sqrt{\theta_{2}} \\ x_{1}-x_{2}-x_{3}+x_{4}=\sqrt{\theta_{3}}\end{array}将这些方程相加,可知$x_1$是该三次方程之根之平方根之和之四分之一.$x_1$既知,其余三根自不难得了.普通四次方程之解法,为卡大之学生梵拉利所发见.梵氏发见此时,还没有满二十三岁,这是极可注意的.即亚倍尔与格老司于方程理论上供献其根本的工作时,亦均在二十三岁以前.梵氏解法之要义如下:将四次方程写作$x^{4}+p x^{3}+q x^{2}+rx+s=0$,于两端各加$(ax+b)^2$而假定其左端是一整平方,即$$x^{4}+p x^{3}+\left(q+a^{2}\right) x^{2}+(r+2 a b) x+s+b^{2}=\left(x^{2}+\frac{1}{2} p x+k\right)^{2}$$将两端同次方的$x$之系数相等,消除$a$与$b$,则得一$k$之三次方程.由此方程既求得$k$之值,即须分解$\left(x^{2}+\frac{1}{2} p x+k\right)^{2}-(a x+b)^{2}=0$之因子,便可将解四次方程化解二个二次方程.在二个二次方程之解内,必包括原方程之根.
17. 四次以上之方程.意大利的数学家既发见三次及四次方程之解法后,曾引起许多企望,想将较高次的普通方程用有理演算法及开方法(这几种方法为那时所仅知的代数演算法)解之.这些努力自不免仅归失败,直至梵拉利发见四次方程解法后之三百年,始由亚倍尔最初严格的证明普通五次方程不能用这些初等演算法解之,彼时亚氏还只二十二岁.很可注意的,亚氏初亦曾试过用这些初等的演算法以解五次方程,他并曾有一时信以为求得一解,但后来他却发见了其自己的错误.他这成功得到了其同国人亨司鼎(Hansteens)之终身的友谊并资助.但亚氏并非想及去证明普通五次方程不能用开方法求解之第一人,在他以前二十余年,罗飞尼对于能有力足以证明此事实的方法上,实多供献.他于代属方面曾作出许多定理.故五次方程之普通解法上所生困难,实为后来数学发达之大富源.除罗氏外,对于此项发达上有铮铮之供献者,为芝伦霍斯,欧拉,拉格伦,高斯,格老司,及赫米脱诸人.
格老司(生于1811年,卒于1832年,享年仅二十一岁)之工作,其于证明每一方程属于一个一定的代属,而此属之属性则可使人确定的明白其所属的方程之能否用初等演算法解之,对于方程理论及代属理论之间,立了较确定的关系,实尤为根本的.此重要的定理,即,任何方程之根之二有理函数,于方程之系数之有理性领域内,可互相有理的表出,则早前拉格伦已证明.
IV. 一未知数及带有数字系数的方程
18. 通说.虽然有许多数字的代数方程之来,已在有史以前,但希腊文精华录方面关于算术的小品文字却使我们作此假定,这些方程由疑谜及字方程来的.完全发达的方程,代表纯正思想之大道没有小径,而系数决定这些大道之可能的命运.古代求将一立方倍之及将一角三等分之的问题,使人注意于这些大道之需要,但其作系数,即可视为随意者,则有大困难.即在有三实根的三次方程方面,卡大公式亦以二幻式之和的形式表实根,而已经证明,于此欲用根数以实的形式表三次方程之根是不可能的.惟法国大代数学家维他曾证明三根之实值,可用三角学得之.
由前面所说,可知即一定次的普通方程之根之公式已知,欲解该次之数字方程,亦还多困难.因得这些公式不易,而此外还有如此困难,于是使人注意到当方程之系数为数字时,求特别的解法.但须注意,对于有许多代数学之应用上,只需要实根之近似值.此项需要引起许多著作,其中包括有关于代数方程之极好的结果.数字方程之一次及二次者,已可自普通解法上得其值,故下面假定所论的方程,其次数大于2.数字方程之解法,有时倘先一研究其系数之原性,则大可简易些,故其详节颇为重要.
数字方程理论之大部限于实数,因往往只是这些数目能直接应用于发生此方程之条件上.关于方程之系数尤是如此.当有理整函数$f(x)$之系数包括杂数,则自然可将此函数写作$f(x)=\phi(x)+i \psi(x)$,于此,有理整函数$\phi(x)$与$\psi(x)$之系数为实数.用其共轭值$\phi(x)-\psi(x)$乘此方程之两端后,则得一新的$x$之有理整函数,能包括$f(x)=0$之ー切根,但只有实系数.故如我们能求得每一实系数的$x$之有理整函数之一切根,则即能求得杂系数的如此一函数之一切根.又,自$f(x)$之形式上,可观察到$f(x)=0$之任何实根,乃是$\phi(x)=0$与$\psi(a)=0$之共的根,故印是$\phi(x)=0$与$\psi(a)=0$之最高公生数之根.为此事实,并简单明晰计,本章内统假定$f(x)$之一切系数是实数.
19. 倍根.倘$f(x)$能为$(x-r)^a$所除,但不能为$(x-r)^{a+1}$所除,则$r$可说恰恰$a$次为$f(x)=0$之根;有时这样一根亦名$f(x)$之零.如$a>1,r$名$f(x)=0$之倍根,或$f(x)$之倍零.决定$f(x)=0$之倍根,用向所知道的属性较便利,即任何一根恰$a$次为$f(x)=0$之根者,于$f^{\prime}(x)=0$必恰$a-1$次为其根,于此$f^{\prime}(x)=0$乃是$f(x)$之第一次引生函数.因之,$f(x)$之一倍根,亦即是$f(x)$与$f^{\prime}(x)$之最高公生数之根.
因$f(x)$之第一次引生可用有理法得之,故$f(x)$有倍根时,于其系数之有理性倾域内是可化的,惟此定理之例,则不必可用.
由适才所说,可知$f(x)=0$之倍根可自$f(x)$与$f^{\prime}(x)$之最高公生数得之.但此最高公生数之倍根亦可同此得之,故知当$f(x)=0$所有倍根之数不多于$\beta$时,这些根可用有理算法及解不超过$\beta$次的方程得之.有时倘$f(x)=0$只有一倍根,则可用有理算法得之.用视察法以求有理倍根,这是往往可以的.
用$f(x)$与$f^{\prime}(x)$之最高公生数除$f(x)$所得的商包括$f(x)$之每一根一次且只一,故以下可假定$f(x)=0$没有倍根.此项假设大可简省说法.
20. 司徒姆(Sturm)氏定理.此定理(1829年证明)为每一种求实系数的代数方程内求知数之近似值的方法,立了数学的基础,因他能确定指出二任意指定的数目间之实根的数目.而此定理之证亦并不难,乃是建设于下面二简易的事实上:(1)$f(x)$之连续性,(2)倘$a$为$f(x)=0$之实根,$h$为充分小的正数,则$f(a-h)$与$f'(a-h)$之号不同,而$f(a+h)$与$f'(a+h)$之号则必同,于此$f'(x)$为$f(x)$之第一次引生函数.
我们可恰如求$f(x)$与$f'(x)$之最高公生数那样以得司氏级数,不过这里每一余数之号须改之.如是,可得以下之关系$$f(x)=q_{1}(x) f^{\prime}(x)-r_{1}(x)$$$$f^{\prime}(x)=q_{2}(x) r_{1}(x)-r_{2}(x)$$$$r_{1}(x)=q_{3}(x)r_{2}(x)-r_{3}(x)$$$$\ldots\ldots\ldots\ldots\ldots$$$$r_{n-2}(x)=q_{n}(x) r_{n-1}(x)-r_{n}(x)$$于此,$r_n(x)$是一常数,非零,因$f(x)=0$无倍根.这级数$f(x), f^{\prime}(x),r_{1}(x),r_{2}(x),\cdots\cdots r_{n}(x)$有以下的属性:没有二相接的函数,对于$x$之同的值会均成零;不则其下一切函数对于此$x$之值均会成0,但此是不可能的,因$r_n(x)$非为零.当任何一函数成零时,其二相接的函数之号必不同,俾能满足此所设的方程.故当$x$连续的自实数$a$增加其值至实数$b$时,我们欲求此级数中号改变之数目,可不须问任何函数之成零,惟第一个除外.倘此成零,则号之改变即失,如前所观察得者.此则证明司氏定理如下:倘任何二实数$a$与$b$代入司氏级数$f(x), f^{\prime}(x), r_{1}(x),r_{2}(x), \cdots \cdots,r_{n}(x)$中之$x$处,则此级数中当$a$代入$x$时之号改变之数目与当$b$代入时之数目之差,恰为$a$与$b$间$f(x)=0$所有实根之数目.
21. 有理根.笛卡士已曾见到,$f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\cdots \cdots+a_{n}=0$之每一根,乃是$a_n\over a_0$之除数.又,倘使一根是有理的,则将其约尽时,其分子是$a_n$之除数,而分母则$a_0$之除数,此则将此项根$\left(m\over l\right)$代入$f(x)=0$时即可见.事实上,或者除第一项外,$a_{0} l^{n-1}\left[\left(\frac{m}{l}\right)^{n}+\frac{a_{1}}{a_{0}}\left(\frac{m}{l}\right)^{n-1}+\cdots+\frac{a_{n}}{a_{0}}\right]$之一切项均是整数,这是很明白的.惟这些项之和是零,故第一项亦非整数不可.又,$m$能将一切项除尽,故虽可能的不能除末项,然亦必能除之.倘$f(x)=0$还有一第二有理根,而此根亦将其约尽,则其分子自能除$a_n÷m$,其分母除$a_0÷l$等等.因每一有理根约尽时其分子能除$a_n$而分母能除$a_0$,故知我们能求$f(x)=0$之一切有理根,用一定数目的试验便得,而当$a_n$与$a_0$所有因子不多时,此项试验的数目亦不大.
22. 无理根.照前面的理论,可知我们总能求得二有理数,其差小于任何可指定的有限数目,俾此中一数目大于所需的无理根,而其他一数目则小于此.我们可继续的选择这些有理数,使其差以$\frac1{10}$之方计算;即,开首时可选二整数其差$10^0=1$,使无理根在其间,然后再选二有理数其差为$10^{-1}$者,使根在其间,如是下去选相差为$10^{-2}$的,等等.此二有理数中之较小者,名为此根之近似值,而求之之法,则名“向根逼近”.实用上,此法大可改变,俾得省些事.
1767年拉格伦发表以连分数求无理根近似值之方法,此法理论上较简单.此法之主要处如下:既求得$f(x)=0$之根在整数$r$与$r+1$之间,即可于$f(x)=0$中$x$处代入$x=r+\frac{1}{y_{1}}=\frac{r y_{1}+1}{y_{1}}$于是得一其他的$n$次方程$f_1(y_1)=0$,此方程所有大于1的实根之数目,如$f(x)=0$在$r$与$r+1$间所有实根.仿此仍再求得一整数$r_1>0$,俾$r_1$与$r_1+1$间之一根,并于$f_1(y_1)=0$中代入$y_{1}=r_{1}+\frac{1}{y_{2}}=\frac{r_{1} y_{2}+1}{y_{2}}$.
如是即得一$n$次$y_2$之方程,所有大于1的实根,如$f_1(y_1)=0$所有$r_1+1$之实根.
继续用此方法,必可得一方程只有一根大于1,而此根则可任意追索之.于是原方程之一根之值可用以下连分数表之$$x=r+\frac{1}{r_{1}+\frac{1}{r_{2}+\ddots}}$$虽此法极清晰,并明自表显每步骤之理法,然其使用则远不如著名的霍纳(Horner)氏之法.
23. 画图及用机器的解法.倘能作出$y=f(x)$之精确的图,并能精确的量得图过$x$坐标轴的点之坐标,则由此项坐标之数字的量上,可得$f(x)=0$之一切实根.此方法之长处,在于显出$f(x)$之值属于$x$一定界限内之一切值者.其短处则因量及画每不完美,故所作图画不能说能精确代表函数.但其使寻常看来似不关连者有一致,则颇有假设的作用,故极有用处,而于初学者尤然.有许多事实,常往往其意义不甚明了者,用此即易知之.
古希腊人会用几何作法以解某几种几何问题,与解二次方程相等者,不过目前方程之图画解法则大部为十九世纪之初以来所发展者.在有许多例上,此种方法只能显出某种解法是可能的,在还有的例上,可其计算精确与否之粗粗的校核,惟用此项解法所得者于有许多问题上,则亦可为充分精确.然其于详节上尤能节省思想,则将来算学方法之应用更广时,其愈占重要地位亦自无疑.倘不作$y=f(x)$之图,而作二曲线,俾其交点之坐标为$f(x)=0$之根,则往往尤为便利.有时可使一曲线于同次数的一切方程固定着,而其他曲线则变动之以与系数之各值相当.在1637年时,笛卡士已用一固定的抛物线及一变动的圆,以解三次及四次之方程,他并曾解五次及六次的方程,所用者为一固定的第三级曲线及一圆.关于此项图画代数学之著作极多,且日有增加.
与此图画法紧相接的,有各种求数字方程的根之近似值之机器.有的颇精巧,系用力之平衡,流体静力学,及电学上之原则者.虽然古希腊人曾用机械的方法解决了德里问题(Delian Problem),这里即包有一三次方程之解法,惟适于求各种方程之根的机器,则是晚近的发见.此中最著名者,为西班牙工程师笃力士(M.L.Torrés)所发明的一具.
24. 错误及须谨慎者.因数学之主要目的是建筑永久的及引人的思想之大道,务能直接引至理智之宝库,故观察到旁径所引不顾危险记号之处实可注意.此记号中最显着的一个,是:不可用其值为0的式去除方程之二端.倘可用如是一式以除,则容易明每一数等于0.其一证如下:由$x=1$,即能相继的得$$x^{2}=1,\quad x^{2}-1=0, \quad x+1=0,\quad x=-1,\quad 1=-1,\quad a=-a\quad 2 a=0$$因$a$既可如是选择,使$2a$为任意一数目,故由此必得任何一随意的数目是零.
又,我们每易忘却一数目有$n$个$n$次根,于是可得一性质较异的错误.观下面二例可知此:$$\frac{1}{-1}=\frac{-1}{1}$$将两端开平方,得$$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}=\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}$$将分数化尽,并观察,倘√代表一单独的根,$(\sqrt1)^2=1$而$(\sqrt{-1})^2=-1$,则得$$1=-1$$这里,其危险的记号是:须知一数目有$n$个$n$次根.初等算学中根数之用法实不如所应当者那样整齐.例如√号或则应包括二值,故不当其前加以±,或则须有一稍改变的符号以表算术的平方根.徜假定√只用以表正方根,则如此的方程$$\sqrt{x+a}+\sqrt{x}=1, \quad a>1$$自然不能成立.反之,倘此号表其二可能的平方根,则即可能,而$x$之可能的值可照寻常方法化其根数得之.故倘未说明√之意义为算术的时,即不能说此项方程不可能.
方程$\left(x^{\frac{1}{q}}\right)^{p}=\left(x^{p}\right)^{\frac{1}{q}}$($p$与$q$为整数)不能视为一自方程,因$\left(x^{\frac14}\right)^4$只有一值,而$\left(x^4\right)^{\frac14}$则普通有四值.此方程左端之一切值乃是其右端之值,惟不能反之.故此项方程不能不审慎用之.