关于伪正交线性变换的一个问题

考虑$\mathbb R$上的有限维向量空间$V$,其上定义了内积,也就是说其是一个欧氏空间,考虑任取一个在此意义上的正交线性变换$A:V\to V$,于是可以证明,$V$可以分解为一系列维度小于等于二且相互正交的子空间$V_1,...,V_k$的直和,且$A$在每个$V_i$都满足$AV_i=V_i$。
我见到的证明过程是:
1、任何一个$\mathbb R$上非平凡有限维向量空间$V$的线性变换$A$,$V$一定存在二维或者一维的子空间$V_1$满足$AV_1\subset V_1$
2、由于$A$是正交的,故$V_1$的正交补$V_1'$也满足$AV_1'\subset V_1'$,于是可将$V$分解为$V_1$和$V_1'$的直和
3、考虑$V_1'$和$A$在$V_1'$的限制,其可以再次代入到第一步
于是这样就完成了正交直和分解

我要问什么呢,现在考虑$\mathbb R$上另一个有限维向量空间$U$,其上定义了伪内积,也就是说其是一个伪欧氏空间,考虑任取一个此意义上的伪正交线性变换$B:U\to U$。
直接把上文的证明移植下来会遇到一个问题,在第二步,$U_1$的伪正交“补”$U_1'$并不一定满足$U_1\cap U_1'=\{\pmb 0\}$,或者说伪正交“补”不一定是真正的补,例如$U_1$和$U$的迷向向量集相切的情况,在闵可夫斯基空间中就是说,找到的不变子空间可能正好和光锥相切。
那么$U$是否也能如上文那样分解为一系列维度小于等于二且相互伪正交的不变子空间的直和呢?如果能,给出证明,如果不能,给出反例。