逼近方法

逼近方法
Approximation Method

数学经常被描述成一门讨论抽象世界（观念或符号）的学问，但是除了希腊欧氏几何学的异例，从数学史的观点来说，不论是早期的各文化发展出来的数学，或是晚近以西方数学为主的数学，其「利用厚生」的色彩，作为现实生活应用的工具的角色，仍然举足轻重。

以圆周率π为例，「径一周三」是先民素朴的估计值，祖冲之的约率 $= \frac{22}{7}$，密率 $=\frac{355}{113}$ 也还是实用的近似值。事实上人类要到十九世纪才知道π是一个无理数、超越数。从实用到抽象的光谱中，一端是「径一周三」的粗略估计，另一端是像欧拉公式 $e^{i\pi}+1=0$ 般的「理想」等式。

从实用的观点，过分精确并不是美德，对又快才是目标。在数学中处理这问题的领域，称为逼近理论与数值分析。将以实数，无穷步骤为本的数学，转换为以有理数，有限步骤为本的另一种数值数学。通常它的课题常牵涉到两个层次

(1)逼近的层次：要彻底掌握下列的等式

理想值(式)=逼近式(n)+误差(n)

其中 n 是可控的参数，而误差 (n) 会随着 n 变大而趋近于 0，因此这里的问题既牵涉到如何构作逼近式，同时也要能了解误差式的性质。最典型的例子是泰勒定理。

(2)效率的层次：同样的理想数（式）可能有不同的逼近式，怎样才能在计算的速度上最佳化，也是一个重要的实际课题。
由于逼近显然牵涉到极限的观念，因此微积分的课题中提供了基本又丰富的素材。例如：

(1)数的逼近:\begin{aligned} \pi=& 4\left(1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots\right) \\=& 4\left[\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{3} \frac{1}{5^{3}}+\frac{1}{5} \frac{1}{5^{5}}+\cdots\right)-\left(\frac{1}{239}-\frac{1}{3} \frac{1}{239^{3}}+\frac{1}{5} \frac{1}{239^{5}}-\cdots\right)\right]\quad\text{（后者比前者的逼近的速度要快多了）} \end{aligned}
(2)函数的逼近式：\begin{aligned}e^{x} &\doteq 1+x+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\cdots+\frac{x^{n}}{n !}\\x !& \sim \sqrt{2 \pi x} x^{x} e^{-x}, \text { 当 } x \text { 足够大时 } \quad\text{(Stirling公式)}\\\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} e^{-\frac{t^{2}}{2}}~{\rm d}t &\sim 1-\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^{3}}\right) e^{-\frac{x^{2}}{2}}\quad\text{当 $x$ 足够大时}\end{aligned}
(3)定积分的数值逼近：以 Simpson 法为例
\begin{eqnarray*}
\int_a^b f(x) dx
&\doteq& \frac{b-a}{3n}(f(x_0)+4f(x_1)+2f(x_2)+4f(x_3)\\
&&+\cdots +2f(x_{n-2})+4f(x_{n-1}))+f(x_n))
\end{eqnarray*}

其中 $a=x_0<x_1<x_2< \cdots < x_n =b$ , $x_i-x_{i-1}=\frac{b-a}{n}$，且 n 为偶数。Simpson 法的误差会 $ \leq
\frac{(b-a)^5}{n^4}\frac{M_4}{180}$，其中 M4 是 f(4)(x) 在 [a,b] 中的最大值

(4)方程式根的求法：牛顿法， $x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$。
(5)微分方程的数值解：如欧拉法。
逼近方法所牵涉到的微积分的观念，包括线性逼近、泰勒定理、插值法与差和分的观念。