四个乌龟的问题  四个海龟在正方形的四角,每个海龟都以同样的速度径直向它前面的海龟爬去(甲始终朝着乙的位置前进,乙始终朝着丙的位置前进,丙朝着丁,丁朝着甲的方向走),那么,每一时刻它们四个都处在某个正方形的角A1,B1,C1,D1上.(cut-the-knot)

图一

由于在A1点的乌龟朝向在B1点的乌龟,所以,A1点的乌龟在此一时刻的速度方向为A1B1,所以其路径在A1点的切线与OA1形成 45°的夹角.
一般而言,若一曲线在每个点P的切向量都与某定点O至此点P所成的向量夹成一定角,且定角不是直角,则此曲线称为一等角螺线 (equiangular spiral).
极坐标方程  设曲线$r=f(\theta)$上任意点P处的切向量与$\overline{OP}$的夹角α为定值($0<\alpha<\pi, \alpha \neq \frac{\pi}{2}$),则有$\cot\alpha=\frac{f'(\theta)}{f(\theta)}$,积分得,$\theta\cot\alpha=\ln{f(\theta)}-\ln a$  ($a$是常数),即$f(\theta)=a\;e^{\theta\cot\alpha}$.
所以,等角螺线也称为对数螺线 (logarithmic spiral).
设$\cot\alpha>0$,则当$\theta\to-\infty$时,曲线无限趋于原点(但达不到原点);当$\theta\to\infty$时,曲线越来越远.
设$P_1,P_2,\cdots$的辐角$\theta_1,\theta_2,\cdots$构成一个等差数列,则对应的向径$ae^{\theta_1\cot\alpha},ae^{\theta_2\cot\alpha},\cdots$构成等比数列,即$\overline{O P_{1}},\overline{O P_{2}},\overline{O P_{3}}$构成等比数列,又因$\angle P_1OP_2=\angle P_2OP_3=\cdots$,所以$\triangle P_1OP_2\sim\triangle P_2OP_3\sim\cdots$.特别地,若$\angle P_1OP_2=\angle P_2OP_3=\cdots=2\pi$,则$P_1,P_2,\cdots$是从极点出发的一射线与等角螺线的交点.可见:从极点出发作射线与等角螺线的交点到原点的距离成等比数列.这一条性质又与下面的性质有关:
将等角螺线关于极点伸缩k倍(k>0),方程变为$r=kae^{\theta\cot\alpha}=ae^{(\theta+\varphi)\cot\alpha}$  ($\varphi=\ln k\tan\alpha$),所以得到的曲线与等角螺线绕原点旋转一定角度得到的曲线相同.

图二

根据前段的说明,我们可以了解:等角螺线上的一段弧经伸缩若干倍后,必与该等角螺线上的另一弧全等.等角螺线的这项特性,使得自然界中许多物体都呈现等角螺线的形状.例如:许多贝壳都很接近等角螺线的形状,因为生活在壳内的动物在成长过程中都是均匀地长大,这就像相似地放大,所以,新生的部分所栖息的空间必与原有空间形状相似.象鼻,动物的角与毛等都呈等角螺线形.在植物中,向日葵,凤梨与雏菊上的螺旋纹也都呈等角螺线形.
趣史一则  等角螺线的性质,笛卡儿(R. Descartes, 1596~1650)在1638年就已经考虑过,但没有获得特殊结果.托里拆利(E. Torricelli, 1608~1647年)在1645年发现有关等角螺线弧长的一项性质,在下文中将会介绍.
对于等角螺线的探讨,以伯努利(J. Bernoulli, 1654~1705年)的成果最为丰硕.他发现将等角螺线作某些变换时,所得的曲线仍是全等的等角螺线.除了上面提到的关于极点作伸缩变换以外,还有:对极点求垂足曲线 (pedal curve);求渐屈线 (evolute);对极点求反演曲线 (inversive curve);求焦线 (caustic curve);详见后文.由于这些变换都可以使等角螺线再生,这个现象使伯努利大为欣慰,所以,临殁遗言要将等角螺线的这些性质刻在他墓碑上,同时题上一句话: 'Eadem mutata resurgo'(虽然某些状况改变了,我却保持不变).这是继阿基米德(公元前三世纪)之后,另一位在墓碑上表现其成果的数学家.

图三

但是实际上工匠刻上了阿基米德螺线{:titter:}
黄金分割与等角螺线  环绕一个定点而相似地缩小,这是等角螺线在其极点附近呈现的形状.假如我们将多边形环绕一个定点相似地缩小,是不是会与等角螺线产生关联呢?

图四

在上图中,$\Box ABDF$,$\Box CDFH$,$\Box EFHJ$,$\Box GHJK$,$\Box IJKL$,… 等是一系列的矩形,这些矩形中每两个都相似(亦即:边的比值相等),而且后一矩形都是由其前面的矩形挖掉一个正方形而得的.如:$\Box CDFH$ 是由 $\Box ABDF$ 挖掉正方形 $\Box ABCH$ 而得的.此时,上列矩形的第一个顶点 A,C,E,G,I,K … 等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是 $\overline{AE}$,$\overline{BF}$,$\overline{CG}$,$\overline{DH}$ 等共交的点 O.若以 O 为极点,射线 $\overrightarrow{OE}$ 为极轴,且 A 的极坐标为 $(a,\pi)$,则此等角螺线的极坐标方程式为
$$r=\frac{a}{\phi^2}(\phi^{2/\pi})^{\theta}$$其中 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.此等角螺线通常称为黄金螺线.
为什么会扯上 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 呢?原来这个数就是上述相似矩形的长边与短边的长度之比.因为由 $\Box ABDF\sim\Box CDFH$ 可得\begin{array}{l}\overline{B D}: \overline{B C}=\overline{B C}: \overline{C D} \\ 1+(\overline{C D}: \overline{B C})=\overline{B C}: \overline{C D} \\ (\overline{B C}: \overline{C D})^{2}-(\overline{B C}: \overline{C D})-1=0 \\ B C: C D=\frac{1+\sqrt{5}}{2} \quad(\text { 因为 } \overline{B C}: \overline{C D}>1)\end{array}若线段 $\overline{BD}$ 上的一点 C 满足 $\overline{BD}:\overline{BC} = \overline{BC}:\overline{CD}$,则称 C 点将 $\overline{BD}$ 黄金分割.当 C 点将 $\overline{BD}$ 黄金分割时, $\overline{BD}:\overline{BC}$(或 $\overline{BC}:\overline{CD}$)的值是 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,此数称为黄金分割比.若一矩形的长边与短边的比值为 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,则此矩形称为黄金矩形.
由黄金矩形可引出等角螺线,将矩形改成三角形,也会有同样的结果吗?
在下图中 $\triangle ABC$,$\triangle BCD$,$\triangle CDE$,$\triangle DEF$,$\triangle EFG$,$\triangle FGH$,……等是一系列的等腰三角形,这些等腰三角形中每两个都相似,而且后一等腰三角形,都规定是由其前面的等腰三角形挖掉一个等腰三角形而得的.例如:$\triangle BCD$ 是由 $\triangle ABC$ 挖掉等腰三角形 $\triangle DAB$ 而得的.

图五

此时,上列等腰三角形的顶点 A,B,C,D,E,F,G,H,……等会落在一等角螺线上,此等角螺线的极点是 $\overline{AF}$ 与 $\overline{BG}$ 的交点 O.
若以 O 为极点,射线 $\overrightarrow{OB}$ 为极轴,且 A 的极坐标为 $(a,\frac{3\pi}{5})$,则此等角螺线的极坐标方程式为$$r=\frac{a}{\phi}(\phi^{5/3\pi})^\theta$$其 $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.此等角螺线也称为黄金螺线.
此等角螺线也扯上 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$,其理由如下:上述的相似等腰三角形 ABC 等,可证明其顶角为 36°,而底角为 72°,所以, $\overline{AB}: \overline{BC} = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$.此种三角形称为黄金三角形.
等角螺线的弧长  假定我们想计算等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 上,辐角 θ 满足 $\beta \leq \theta \leq \gamma$ 那段弧的长,利用前面所提的相似性质,我们可将区间 $[\beta,\gamma]$ 等分成 n 等分,设每一等分的长为 h,即 $h=\frac{\gamma-\beta}{n}$.又令 Pi 表示极坐标 ( $ae^{\beta+ih}\cot\alpha, \beta+ih$) 的点,i=0,1,2,…,n,先考虑所得折线的长 $\overline{P_0P_1}$ + $\overline{P_1P_2}$ + … + $\overline{P_{n-1}P_n}$.若这个和在 $n\rightarrow\infty$(或 $h \rightarrow 0$)时的极限存在,则其极限值就是所欲求的弧长.
上述的折线长怎么计算呢?因为 $\triangle P_iOP_{i+1}$ 与 $\triangle P_0OP_1$ 相似,所以 $\overline{P_iP_{i+1}} : \overline{P_0P_1}$ = $\overline{OP_i}:\overline{OP_0}$ = $e^{ih\cot\alpha}$,由此可得\begin{aligned} & \overline{P_{0} P_{1}}+\overline{P_{1} P_{2}}+\cdots+\overline{P_{n-1} P_{n}} \\=& \overline{P_{0} P_{1}} \cdot\left(1+e^{h \cot \alpha}+e^{2 h \cot \alpha}+\cdots+e^{(n-1) h \cot \alpha}\right) \\=& \overline{P_{0} P_{1}} \cdot \frac{e^{(\gamma-\beta) \cot \alpha}-1}{e^{h \cot \alpha}-1} \quad\left(\text { 假设 } 0<\alpha<\frac{\pi}{2}\right) \end{aligned}另一方面,利用余弦定律可求得$$\overline{P_0P_1}^2=a^2e^{2\beta\cot\alpha}[(e^{h\cot\alpha}-1)^2+4e^{h\cot\alpha}\sin^2\frac{h}{2}]
$$再根据L'Hospital法则,可得$$\lim_{h\rightarrow 0}\frac{2\sin\frac{h}{2}}{e^{h\cot\alpha}-1}=\frac{1}{\cot\alpha}=\tan\alpha$$由此可得\begin{aligned} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{\overline{P_{0} P_{1}}}{e^{h \cot \alpha}-1} &=a e^{\beta \cot \alpha }\sqrt{1+\tan ^{2} \alpha} \\ &=a e^{\beta \cot \alpha} \sec \alpha \end{aligned}
\begin{array}{l}\lim\limits _{h \rightarrow 0}\left(\overline{P_{0} P_{1}}+\overline{P_{1} P_{2}}+\cdots+\overline{P_{n-1} P_{n}}\right) \\ \quad=a e^{\beta \cot \alpha} \sec \alpha\left(e^{(\gamma-\beta) \cot \alpha}-1\right) \\ \quad=a \sec \alpha\left(e^{\gamma \cot \alpha}-e^{\beta \cot \alpha}\right)\end{array}
由此可知:在等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 上,辐角 θ 满足 $\beta \leq \theta \leq \gamma$ 那段弧的长为:$$a\sec\alpha(e^{\gamma\cot\alpha}-e^{\beta\cot\alpha}) \; ,$$此值等于该弧的两端点向径之差与 $\sec\alpha$ 的乘积.
在 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$ 的情形中,因为当 $\theta\rightarrow-\infty$ 时,可得 $ae^{\theta\cot\alpha}\rightarrow 0$,所以,极点可以看成是等角螺线的一个终极位置.我们也因此可以问:由点 $P (a e^{\beta \cot \alpha}, \beta)$ 绕回极点 O 的长度为多少?这段弧是辐角 θ 满足 $-\infty < \theta \leq \beta$ 所对应的部分,它的长度可以分别考虑 θ 满足 $\beta-1\leq\theta\leq\beta$, $\beta-2\leq\theta\leq\beta-1$,… 等部分的弧长,然后相加而得.因此,由 $P (a e^{\beta \cot \alpha}, \beta)$ 至 O 的弧长等于\begin{array}{l}\sum\limits_{n=0}^{\infty} a \sec \alpha\left(e^{(\beta-n) \cot \alpha}-e^{(\beta-n-1) \cot \alpha}\right) \\ \quad=a \sec \alpha \cdot e^{\beta \cot \alpha} \\ \quad=\overline{O P} \cdot \sec \alpha\end{array}前面所得的结果,可以做一项有趣的几何解释:过 O 作一直线与 $\overline{OP}$ 垂直,因为过 P 的切线与 $\overline{OT}$ 不垂直,所以,上述垂直线与切线交于一点 T.由于 $\angle OPT=\alpha$,于是,可得 $\overline{PT}=\overline{OP}\cdot\sec\alpha$.换言之,由 P 点绕回 O 点的弧长与 $\overline{PT}$ 的长相等,这就是托里拆利所发现的性质.

图六

前段所提的性质,还可作如下的解释:设想等角螺线在直线 PT 上作不滑的滚动,则极点 O 最后会移动到 T,而且在滚动过程中,O 点的运动路径就是 $\overline{OT}$.
等角螺线的再生性质  垂足曲线:设 C 为一曲线而 O 为一定点,自 O 向 C 的所有切线作垂直线,则所有垂足所成的图形称为曲线 C 对定点 O 的垂足曲线.
若 C 是等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$,则 C 对其极点的垂足曲线是一个全等的等角螺线,为什么呢?在图六中,若 $H(r,\theta)$ 是在切线 PT 上的垂足,则 $r=\overline{OH}$ $=\overline{OP} \sin \alpha$,而 $\theta + (\pi/2-\alpha)$ 是 P 的辐角(设 $0<\alpha<\pi/2$).因此,可得$$r = \overline{OP}\sin\alpha= (a\sin\alpha)e^{(\theta-\alpha+\frac{\pi}{2})\cot\alpha}$$
换言之,所有 H 点构成等角螺线 $r=(a\sin\alpha)e^{(\theta-\alpha+\frac{\pi}{2}) \cot \alpha}$.

焦线:设 C 为一曲线而 O 为一定点,将过 O 的所有直线都对曲线 C 作反射,若反射所得的所有直线都是某曲线的切线,则此曲线称为曲线 C 对定点 O 的焦线.
若 C 是等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$,则 C 对其极点的焦线是一个全等的等角螺线,我们说明如下.设 P 是等角螺线 C 上一点,$R(r,\theta)$ 是极点 O 对于过 P 之法线的对称点,则直线 OP 对等角螺线 C 反射,所得的直线就是直线 PR(见图六).显然, $r=\overline{OR} = 2\overline{OP}\cos\alpha$,而且 $\theta-\alpha$ 是点 P 的辐角(设 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$).因此,可得
$$r=2\overline{OP}\cos\alpha=(2a\cos\alpha)e^{(\theta-\alpha)\cot\alpha}$$换言之,所有 R 点构成等角螺线 $r=(2a\cos\alpha)e^{(\theta-\alpha) \cot \alpha}$.因为此等角螺线过 R 点的切线与直线 OR 的夹角等于 α,而直线 PR 正具有这项性质.也就是说,直线 PR 就是此等角螺线在 R 点的切线.因此,此等角螺线就是原等角螺线 $r=e^{\theta\cot\alpha}$ 对极点 O 的焦线.

渐屈线:设 C 为一曲线,作 C 的所有法线,若所有法线都是某曲线的切线,则此曲线称为曲线 C 的渐屈线.
若 C 是等角螺线 $r=e^{\theta\cot\alpha}$,则 C 的渐屈线是一个全等的等角螺线,我们说明如下.设 P 是等角螺线 C 上一点,$N(r,\theta)$ 在过 P 的法线上而且 $\overline{ON}\perp\overline{OP}$(见图六).显然, $\overline{ON}=\overline{OP}\cot\alpha$,而且 $\theta-\frac{\pi}{2}$ 是点 P 的辐角(设 $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$).因此,可得
$$r=\overline{OP}\cot\alpha=(a\cot\alpha)e^{(\theta-\frac{\pi}{2})\cot\alpha}$$换言之,所有 N 点构成等角螺线 $r=(a\cot\alpha)e^{(\theta-\frac{\pi}{2}) \cot \alpha}$.因为此等角螺线过 N 点的切线与直线 ON 的夹角等于 α,而法线 PN 正具有这项性质.也就是说,法线 PN 就是此等角螺线在 N 点的切线.因此,此等角螺线就是 $C:r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 的渐屈线.
曲线 C 的渐屈线也可定义为'曲线 C 的每个点的曲率中心所成的图形'.在图六中,该等角螺线在 P 点的曲率中心就是 N,曲率半径就是 $\overline{NP}$( $= \overline{OP}\csc\alpha$).

习题:
试证图六中的所有 T 点所成的图形仍是一个全等的等角螺线,称为原等角螺线的渐伸线 (involute).

其他螺线举例  除了等角螺线外,数学上还有许多不同形式的螺线,像阿基米德螺线,双曲螺线 (hyperbolic spiral),抛物螺线 (parabolic spiral),连锁螺线 (lituus) 等,其中的阿基米德螺线最为有趣,我们略作介绍如下.
向径与辐角的比值是常数时,其轨迹称为阿基米得螺线.以极座标表示时,其方程式为 $r=a\theta$,其中 a 是常数.
早在古希腊时代,大数学家阿基米德就对这种螺线作过研究,并写成一篇名为《On spirals》的作品.
在图七(左)中,PQR 是一把木匠用的曲尺,其短臂的内侧 $\overline{PQ}$ 之长为 a,圆 O 的半径也为 a,A 与 B 是圆 O 上两点,而且 $\angle AOB$ 是直角.首先,将曲尺上的 P 与 Q 分别置于 O 与 B,然后将曲尺的长臂内侧 $\overline{QR}$ 沿着圆 O 滚动,则在滚动过程中,P 点所经过的路径就是阿基米德螺线 $r=a\theta$ 的一部份.为什么呢?在图七(左)中,$\overline{QR}$ 已经滚动到与 O 相切于 T 点.则 $\overline{TQ}$ = 弧TB 的长.设 $\angle AOP=\theta$.于是,可得 $r = \overline{OP}$ = $\overline{TQ}$ = 弧 TB 的长 = $a\theta$(此处 θ 以弧度为单位).
因为向径与辐角成比例,所以,阿基米德螺线可用来将等角速运动转换成等速直线运动,在图七(右)中,有一个心状的图形是由两段全等的阿基米德螺线弧所接合而成,它们的极点都是 O,其上的 F 则连接在一个可上下移动的杆子上.当心状图形以等角速绕 O 点转动时,就可带动上面的杆子作等速直线运动.

图七

将阿基米德螺线对其极点作反演变换 (inversion),所得的反演曲线是一双曲螺线,所谓反演变换,其意义如下:设圆 O 的半径为 k,而 P 是异于 O 的任意点.若 Q 点在射线 $\overrightarrow{OP}$ 上且满足 $\overline{OP} \cdot \overline{OQ} = k^2$,则称 Q 是 P 对圆 O 的反演像(inverse).若 D 是极坐标系中的极点,则上式表示 P 的向径 r 与 Q 的向径 r' 满足$rr'=k^2$.设 C 为一曲线,则 C 上每个点对圆 O 的反演像所成的图形,称为曲线 C 对圆 O 的反演曲线.
根据上述定义,等角螺线 $r=ae^{\theta\cot\alpha}$ 对圆 O 的反演曲线为 $r=\frac{k^2}{a}e^{-\theta\cot\alpha}$,这是一个全等的等角螺线.阿基米德螺线 $r=a\theta$ 的反演曲线是 $r\theta=\frac{k^2}{a}$,这是双曲螺线.
极坐标方程式为 $r^2\theta=a^2$ 的曲线称为连锁螺线,它对圆 O 的反演曲线为 $r^2=\frac{k^4}{a^2}\theta$,这曲线称为费马螺线,它是抛物螺线 $(r-a)^2=b^2\theta$ 的特殊情形.
阿基米德螺线(Archimedean spiral -- wikipedia)双曲螺线(Hyperbolic spiral -- wikipedia)连锁螺线(Lituus -- wikipedia)

习题:
1. 试证双曲螺线 $r\theta=a$ 有一水平渐近线$y=a$.
2. 试证连锁螺线 $r^2\theta=a^2$ 有一水平渐近线$y=0$.