本帖拟将几何瑰宝 下册(哈尔滨工业大学出版社)的文字部分录入,以便检索.

内容简介

本书共有三角形、几何变换,三角形、圆,四边形、圆,多边形、圆,以及最值,作图,轨迹,完全四边形,平面闭折线,圆的推广十个专题,对平面几何中的500余颗璀璨夺目的珍珠进行了系统地、全方位地介绍,其中也包括了近年来我国广大初等几何研究者的丰硕成果.
本书中的1000余条定理可以广阔地拓展读者的视野,极大地丰厚读者的几何知识,可以多途径地引领数学爱好者进行平面几何学的奇异旅游,欣赏平面几何中的精巧、深刻、迷人、有趣的历史名题及最新成果.
该书适合于广大数学爱好者及初、高中数学竞赛选手,初、高中数学教师和数学奥林匹克教练员使用,也可作为高等师范院校数学专业开设“竞赛数学”,“中学几何研究”等课程的教学参考书.

前言

几何,在数学及数学教育中占有举足轻重的地位.历史上,数学首先以几何学的形式出现.现实中,几何不仅是对我们所生活的空间进行了解、描述或解释的一种工具,而且是我们认识绝对真理而进行的直观可视性教育的合适学科,是训练思维、开发智力、进行素质教育不可缺少的学习内容.
如果说数学博大精深、靓丽多姿、光彩照人,那么就可以说几何学源远流长、魅力无限、引人入胜.几何学提出的问题透发出一个又一个重要的数学观念和有力的方法,如几何学中三大作图问题对数学的发展所产生的无法估量的作用.几何学的方法和代数的、分析的、组合的方法相辅相成,扩展着人类对数与形的认识.几何学能够同时给学习者生动直观的图像和严谨的逻辑结构,这非常有利于大脑左右两个半球潜力的挖掘,有利于提高学习效率,完善智力发展.
如果把数学比做巍峨的宫殿,那么平面几何恰似这宫殿门前五彩缤纷的花坛和晶莹夺目的喷泉所组成的园林,这迷人的园林会吸引更多的人来了解数学、学习数学、研究数学.中国近代数学家徐光启在《几何原本杂议》中说:“人具上资而意理疏莽,即上资无用;人具中材而心思缜密,即中材有用;能通几何之学,缜密甚矣,故率天下之人而归于实用者,是成其所由之道也.”
在几何学发展的历史长河中,许多经久不衰的几何名题,犹如一颗颗闪烁的珍珠,璀璨夺目,点缀着瑰丽的几何园林,装饰着数学宫殿.这些几何名题,精巧、深刻、迷人、有趣、美丽,推动着几何学乃至整个数学的发展,它们中有的从一被发现就吸引着人们的关注,有的经过几代甚至几十代数学家的努力,得出许多耐人寻味、发人深省的结论.
学习几何名题是进行奇异的旅行.几何名题在某个属于它自身的永恒而朦胧的地方,在那朦胧的土地上,我们奇异地从点、线段、角、三角形、多边形、圆等图形中获得绚丽多彩的景象,从一点小小的逻辑推理,可以得到深刻而优美的几何结构与量度关系,在那片朦胧的土地上,还有无数更令人惊奇的几何图形以及其中的位量与数量关系,等着我们和它们相遇.
学习几何名题可明澈自己的思维.三角形三条中线总是交于一点且该点三等分每一条中线,三角形三内角之和在欧氏空间就等于180°,等等,这些都精确地摆在那儿.生活里有许多巧合――那些常被有心或无心地异化为玄妙或骗术法宝的巧合,也许只是自然而简单的几何结果,以几何的眼光来看现实,不会有那么多的模糊.有几何精神的人多了,骗子(特别是那些穿戴科学衣冠的骗子)的空间就小了.无限的虚幻能在几何中找到最踏实的归宿.
学习几何名题是欣赏纯美的艺术.几何学家像画家和诗人,都创造着“模式”,不过是用思想来创造,用图形和符号来表达.几何的思想,就像画家的构思和诗人的韵律;几何的线条,就像画家的色彩和诗人的文字,以和谐的方式组织起来.几何的世界里,没有丑陋的位置.
在几何学家的眼里,自己笔下的公式定理就像希腊神话里的那位塞浦路斯国王,从自己的雕像看到了爱人的生命.在几何里,在那缜密逻辑里,藏着几何学家们对美的追求,藏着他们的性情和生命.
学习几何名题是享受充满数学智慧的精彩人生.学几何的感觉有时像在爬山,为了寻找新的山峰不停地去攀爬;有时又像在庭院散步,这是一种有益心智的精神漫步,可以进行几何思维的深刻领悟.
作者编写这本几何瑰宝是基于如下几方面的考虑:一是对历史名题,集之翡翠,汇其精华;二是体现我国广大初等数学研究者对几何问题的研究;三是体现张景中院士对改造平面几何体系而开创面积法方案的介绍以及新课改中强调突出几何变换思想的渗透.为了编写好这本几何瑰宝,编者在整理自己多年的数本几何研究著作及发表的数十篇文章的基础上,对探讨研究了一系列专著,并广泛收集整理资料,阅读大量书刊,特别是张景中、沈康身、单墫、杨世明、周春荔、汪江松、熊曾润、胡炳生、萧振纲、叶中豪、郭要红、曾建国、黄家礼、李耀文、黄全福、陈四川、孙四周、胡耀宗、洪凰翔、孔令恩、邹黎明、熊光汉、孙哲、刘毅、刘黎明、黄华松、方廷刚、闷飞、李平龙、尹广金、高庆计、丁遵标、邹守文、令标、王扬、周新民、万喜人、赵临龙、沈毅、宿晓阳、周才凯、李显权、张赟等人以及国外著名数学家阿达玛(法)、约翰逊、笹部贞市郎(日)等的书籍与文章使编者受益匪浅,因他们的研究,使几何名题进入到一个新的境界,书中引用了他们的大量成果.在此,也向他们表示深深的谢意.
让我们来几何园林走走,也许能挽回正在失去的读书兴趣,找回一个永不停歇、充满生机的圆满人生.孔夫子说:“知之者不如好之者,好之者不如乐之者.”只要“君子乐之”,就走进了一种高远的境界.
感谢刘培杰数学工作室的盛情邀请,花了4年的时间编写了这本几何瑰宝.限于作者的水平,书中可能有不少差错,敬请读者批评指正!
沈文选
2010年春于长沙岳簏山下长塘山

目录

三、四边形、圆 /1

☆ 简单四边形面积的贝利契纳德公式 /1
☆ 平面四边形的面积公式 /3
☆ 凸四边形的面积公式 /6
☆ 圆内接四边形的面积问题 /9
☆ 凸四边形顶点处的有关点、线问题 /11
☆ 凸四边形分割图形面积关系式 /12
☆ 凸四边形的正弦、余弦、射影定理 /17
☆ 非圆内接平面四边形的类正弦、余弦、射影定理 /18
☆ 凸四边形的类Ⅰ型余弦、正弦定理 /20
☆ 凸四边形的类Ⅱ型余弦定理 /21
☆ 对角线垂直的凸四边形的八点圆定理 /23
☆ 对角线垂直的平面四边形的八点圆定理 /24
☆ 对角线垂直的凸四边形垂足等角共轭点定理 /24
☆ 凸四边形中的等角共轭点问题 /25
☆ 平面四边形对角线垂直的一个充要条件 /27
☆ 四点勾股差的性质定理 /28
☆ 平面四边形各边的中点问题 /28
☆ 空间四边形余弦定理 /29
☆ 简单四边形的余弦定理 /30
☆ 平行四边形的余形定理 /32
☆ 凸四边形为平行四边形的两个充要条件 /33
☆ 平行四边形为矩形的一个充要条件 /34
☆ 简单四边形重心性质定理 /35
☆ 简单四边形重心坐标公式 /37
☆ 平面四边形的欧拉定理 /39
☆ 平面四边形的热尔岗定理 /40
☆ 梯形的施坦纳定理 /41
☆ 梯形的中线长公式 /42
☆ 梯形的中位线定理 /42
☆ 梯形中位线定理的推广 /43
☆ 梯形的重心定理 /45
☆ 筝形蝴蝶定理 /46
☆ 四边形蝴蝶定理 /47
☆ 四边形蝴蝶定理的推广 /48
☆ 四边形蝴蝶定理的演变 /50
☆ 四边形坎迪定理 /50
☆ 四边形坎迪定理的推广 /53
☆ 凸四边形四顶点组成的三角形问题 /56
☆ 简单四边形四顶点组成的三角形重心四边形定理 /57
☆ 凸四边形四顶点组成的三角形的内(旁)心四边形定理 /59
☆ 西姆森定理 /61
☆ 西姆森线的性质定理 /62
☆ 共线点的萨蒙定理 /72
☆ 西姆森定理的推广 /72
☆ 清宫定理 /75
☆ 卡诺定理 /76
☆ 奥倍尔定理 /77
☆ 奥倍尔定理的一个推广 /77
☆ 托勒密定理 /79
☆ 托勒密不等式与托勒密定理的逆定理 /82
☆ 托勒密定理的推广 /83
☆ 凯西定理(一) /87
☆ 勾股定理的拓广 /88
☆ 凸四边形为圆内接四边形的几个充要条件 /90
☆ 萨蒙圆问题 /91
☆ 圆内接四边形的边与对角线关系定理 /92
☆ 蝴蝶定理 /96
☆ 直线对上的蝴蝶定理 /102
☆ 坎迪定理 /103
☆ 蝴蝶定理、坎迪定理的推广 /103
☆ 圆内接四边形的余弦定理 /110
☆ 圆内接四边形的垂心定理 /111
☆ 婆罗摩笈多定理 /113
☆ 婆罗摩笈多定理的推广 /115
☆ 对角线互相垂直的圆内接四边形问题 /118
☆ 调和四边形问题 /124
☆ 圆内接四边形的相关四边形定理 /131
☆ 圆内接四边形的富尔曼定理 /137
☆ 卡塔朗定理 /138
☆ 形心圆 /139
☆ 四边形内接于圆与其三角形切圆半径相关的定理 /140
☆ 圆内接四边形的特殊点与圆上一点的定值问题 /143
☆ 折四边形问题 /148
☆ 圆外切简单四边形问题 /149
☆ 与外切于圆的凸四边形的边平行的直线问题 /152
☆ 牛顿定理 /153
☆ 富斯定理 /158
☆ 双圆四边形问题 /162
☆ 盐窖形定理 /172
☆ 阿波罗尼斯圆定理 /173
☆ 阿氏圆的性质定理 /173
☆ 鞋匠皮刀形问题 /175
☆ 两圆的麦比乌斯定理 /177
☆ 雅可比定理 /177
☆ 约翰逊定理 /178
☆ 帕斯卡定理 /178
☆ 布利安香定理 /181
☆ 三角形的密克尔点定理 /183
☆ 五点圆问题 /184
☆ 六点圆问题 /185
☆ 七点圆问题 /191
☆ 八点圆问题 /193
☆ 三角形的杜洛斯-凡利圆 /195
☆ 杜洛斯-凡利圆的推广 /198
☆ 三角形的第一莱莫恩圆 /199
☆ 三角形的第二莱莫恩圆 /200
☆ 三角形的图克圆 /200
☆ 图克圆系问题 /201
☆ 三角形的余弦圆问题 /202
☆ 三角形的三乘比圆问题 /203
☆ 三角形的重圆 /205
☆ 哈格六点圆定理 /205
☆ 哈格七点圆定理 /206
☆ 三角形的泰勒圆 /207
☆ 三角形的富尔曼圆 /209 ☆ 三角形的曼海姆定理 /210
☆ 三角形的极圆问题 /211
☆ 逆相似圆问题 /212
☆ 布罗卡尔几何的推广问题 /213
☆ 正三角形问题 /214
☆ 爱可尔斯定理 /216
☆ 爱可尔斯定理的推广 /217
☆ 三圆的相似轴问题 /220
☆ 圆心共线的三圆问题 /220
☆ 三圆相切中的平行线问题 /221
☆ 圆内的切圆问题 /224
☆ 相切八圆问题 /225
☆ 施坦纳链问题 /226
☆ 凯西定理(二) /228
☆ 圆链问题 /230
☆ 克利福德链定理 /231
☆ 相离两圆中的矩形问题 /243
☆ 日本神庙塔壁上的铭刻圆问题 /244
☆ 古镂钱定理 /245
☆ 四点形中的九点圆共点定理 /246
☆ 多圆共点问题 /247

四、多边形、圆 /253

☆ 平行六边形定理 /253
☆ 中心对称凸六边形定理 /256
☆ 菱六边形问题 /257
☆ 戴维斯定理 /261
☆ 空间n边形余弦定理 /261
☆ 凸n边形的重心定理 /263
☆ n边形中的莱布尼兹定理 /265
☆ 凸n边形中(n-1)边形的重心n边形定理 /266
☆ 凸多边形中的布罗卡尔点(角)问题 /267
☆ 凸n边形特殊线段共点定理 /268
☆ 等角双斜线n边形定理 /276
☆ 两全等的等角2n边形定理 /279
☆ 圆内接凸n边形中的定值问题 /282
☆ 正n边形中的定值问题 /283
☆ 圆内接凸n边形中的定点问题 /284
☆ 凸n边形与其切点n边形的面积问题 /286
☆ 圆的内接、外切凸n(n≥4)边形问题 /288

五、最值 /290

☆ 光反射定理 /290
☆ 光反射定理的推广 /291
☆ 阿尔哈森弹子问题 /293
☆ 法格纳诺问题(一) /295
☆ 圆内接四边形的周长最小的内接四边形 /297
☆ 费马最小时间原理 /298
☆ “胡不归”问题 /299
☆ 三角形中的极值点问题 /300
☆ 法格纳诺问题(二) /301
☆ 华生问题 /303
☆ 正多边形上距离和最大的点 /304
☆ 圆内接四边形边上距离和最大的点 /306
☆ 平面多边形边上的极限点 /308
☆ 三角形内接正方形的边长最值问题 /311
☆ 三角形的外接正三角形面积最大值问题 /313
☆ 三角形外接正方形的边长最值问题 /315
☆ 三角形的广义内接正方形问题 /317
☆ 定角内的三角形面积最小问题 /318
☆ 锐角扇形内的面积最大的正方形问题 /319
☆ 一类矩形面积的最大值问题 /322
☆ 平面等周定理 /324

六、作图 /327

☆ 黄金分割 /327
☆ 黄金分割的几何作法 /329
☆ 黄金几何图形 /333
☆ 三等分任意角是尺规作图不能问题 /340
☆ 可以用尺规三等分的角的问题 /341
☆ 有刻度直尺法三等分角 /342
☆ 圆积曲线法三等分角 /342
☆ 阿基米德螺线法三等分角 /343
☆ 蚌线法三等分角 /344
☆ 双曲线法三等分角 /344
☆ 蚶线法三等分角 /345
☆ 三等分曲线法三等分角 /346
☆ “战斧”法三等分角 /346
☆ 无限等分逼近三等分角 /347
☆ 化圆为方是尺规作图不能问题 /347
☆ 圆积曲线法化圆为方 /347
☆ 阿基米德螺线法化圆为方 /348
☆ 圆柱侧面法化圆为方 /348
☆ 三角形法化圆为方 /349
☆ 印度翥那教人化方为圆 /349
☆ 立方倍积是尺规作图不能问题 /350
☆ 双比例中项法立方倍积 /350
☆ 滑动长方形板法立方倍积 /351
☆ 蚌线法立方倍积 /351
☆ 蔓叶线法立方倍积 /353
☆ 圆和双曲线法立方倍积 /354
☆ 圆和抛物线法立方倍积 /354
☆ 等分三角形面积的直线 /355
☆ 等分平面四边形面积的直线 /356
☆ 同时平分四边形的周长和面积的直线 /357
☆ 作过圆外一点平分圆周的直线 /359
☆ 三角形内二等圆问题 /359
☆ 阿波罗尼斯比例截线问题 /361
☆ 简单四边形重心的几何作法 /362
☆ 梯形重心的几何作法 /363
☆ 三角形共轭重心的格雷贝作图法 /365
☆ 四型费马点的作法 /366
☆ 卡芬克尔作图问题 /370
☆ 等分圆周问题 /371
☆ 五等分圆的画法 /372
☆ 已知一边作正五边形问题 /373
☆ 十等分圆的画法 /374
☆ 七等分圆周是尺规作图不能问题 /375
☆ 阿基米德和他的《正七边形作法》 /376
☆ 圆内接正七边形的作图 /377
☆ 正十七边形作图问题 /377
☆ 正n边形近似作图法 /381
☆ 任意三角形的内接正三角形的作图 /382
☆ 直角三角形的外接正三角形的作图 /384
☆ 三角形外接正方形的作图 /385
☆ 三角形内接正方形的作法 /386
☆ 凸四边形的外接正方形的作法 /387
☆ 三角形正则点的尺规作图 /387
☆ 帕普斯问题 /389
☆ 作三内角等于已知角的三角形 /390
☆ 费马作图问题 /390
☆ 作三边均过一已知点的圆内接三角形 /392
☆ 已知三条高作三角形 /393
☆ 已知两边中点及垂心作三角形 /394
☆ 已知一边的高、中线及其余两边的差作三角形 /394
☆ 已知底边及底角平分线作等腰三角形 /395
☆ 已知四边长作圆内接凸四边形 /396
☆ 过各边中点作五边形 /396
☆ 作与已知三圆相切的圆 /397
☆ 作三角形内与两边相切且两两外切的三圆 /399
☆ 作与已知三圆均正交的圆 /401
☆ 作三角形内与两边相切且交于一点的三圆 /401
☆ 马歇罗尼圆规问题 /402
☆ 只用直尺作图问题 /404
☆ 分割三角形等周问题 /407
☆ 分割三角形等积问题 /408
☆ 分割三角形面积成比例问题 /409
☆ 三角形的等腰三角形分割定理 /410
☆ 三角形的锐角三角形剖分问题 /413
☆ 正方形的锐角三角形剖分问题 /416
☆ 正方形的勾股剖分问题 /417

七、轨迹 /421

☆ 到定点与定直线的距离比为定值的点的轨迹 /421
☆ 到定点与定直线的距离差为定值的点的轨迹 /421
☆ 阿波罗尼斯圆 /423
☆ 定和幂圆 /424
☆ 定差幂线 /424
☆ 牛顿轨迹问题 /425
☆ 根轴问题 /426
☆ 共轴圆 /429
☆ 凯西的幂的定理 /433
☆ 三角形高线垂足的射影点共轴圆定理 /433
☆ 塞列特轨迹问题 /435
☆ 波塞里亚反演器原理 /435
☆ 卡塔朗轨迹问题 /436
☆ 外接于定三角形的正三角形重心的轨迹 /437
☆ 三角形的纽堡圆 /437
☆ 三角形的舒特圆共轴圆组问题 /439
☆ 平面轨迹的面积条件呈现问题 /440

八、完全四边形 /445

☆ 完全四边形的牛顿线定理 /445
☆ 完全四边形对角线调和分割定理 /450
☆ 完全四边形对角线调和分割定理的推广 /452
☆ 完全四边形的密克尔点定理 /454
☆ 密克尔圆定理 /454
☆ 完全四边形的蝴蝶定理 /456
☆ 完全四边形的施坦纳圆与共轴线定理 /457
☆ 完全四边形的张角定理 /458
☆ 完全四边形相等边定理 /460
☆ 完全四边形凸四边形内接于圆定理 /462
☆ 完全四边形折四边形内接于圆定理 /466
☆ 完全四边形凸四边形内切圆定理 /467
☆ 完全四边形折四边形旁切圆定理 /470
☆ 完全四边形的其他性质定理 /470
☆ 完全四角形问题 /478
☆ 马克劳林定理 /482

九、平面闭折线 /483

☆ 平面闭折线的射影、正弦、余弦定理 /483
☆ 平面闭折线中的塞瓦定理 /486
☆ 平面闭折线的中线定理 /487
☆ 平面闭折线的拉格朗日公式 /490
☆ 平面闭折线的莱布尼兹公式 /491
☆ 平面闭折线中的布罗卡尔点问题 /492
☆ 圆外切闭折线的斯俾克圆定理 /493
☆ 平面闭折线中的k号心定理 /495
☆ 平面闭折线k号心与原点的距离公式 /504
☆ 平面闭折线k号心与顶点的距离公式 /507
☆ 平面闭折线与k号心相关的共点线定理 /510
☆ 平面闭折线与k号心相关的多点共圆定理 /514
☆ 平面闭折线与k号心相关的多线切圆定理 /518
☆ 圆内接闭折线的k级中线长公式 /521
☆ 平面闭折线的九点圆定理 /525
☆ 平面闭折线的杜洛斯-凡利圆定理 /527
☆ 圆内接闭折线的垂心(1号心)定理 /530
☆ 圆外切闭折线的k号界心定理 /547
☆ 圆外切闭折线的k号界圆定理 /558

十、圆的推广 /562

☆ 圆锥曲线的蝴蝶定理 /562
☆ 圆锥曲线幂定理 /567
☆ 圆锥曲线调和分割割线段定理 /569
☆ 圆锥曲线切线视角定理 /573
☆ 圆锥曲线切线与中点的问题 /574
☆ 圆锥曲线非直径弦的一些性质 /580
☆ 圆锥曲线的费马分割问题 /583
☆ 圆锥曲线中的卡诺定理 /585
编后语 /591

编后语

1979年诺贝尔(Nobel)物理学奖得主温尼伯格指出:“人们持久的希望之一就是,找到几条简单而普遍的规律,来解释具有其所有表面上的复杂性和多样性的自然为什么会如此.”
在所有科学的形式上只有几何特别是平面几何具有这样的特质,用极少的几条公理推演出一个变化万千的几何世界.有人说徐光启的“几何”一词汉语的定式翻译是不够好的,不是圆满的译法,它失去了神性.“几何”一词,汉语指意为事物数字意义上的多少,用于反问句中,而希腊语是指“元素”、“原理”,意即我们这个世界的基本元素、宇宙的基本元素、构建这个宇宙的基本之因.
一般说来学习平面几何不需要从欧几里得的《几何原本》读起,正如梁文道所言:“科学史的经典是不用读的,除非你专治科学史.今天的中学生学牛顿力学,你会叫他去研究牛顿的原著吗?”现代人凡事讲的是有用,而欧几里得最反对这一想法,所以才流传下来一个青年追问他几何学的用处时他叫身边的奴隶倒给他三个硬币的故事.
欧几里得万万没有料到,两千多年后的今天,他当年想靠几何学寻找上帝的希望依旧渺茫,世俗的应用却大规模地建造了人类的物质文明,工业革命后兴盛的人造物质,几何学起到了支撑性作用,按照欧几里得批评他那位世俗的学生的理想主义的思路,近代社会,成为几何学的失败(燕晓东语).今天人们喜欢平面几何除了应付考试的功利目标外,原因与喜欢电影相似.我们看一看人们究意为什么会喜欢电影?霍夫曼斯塔尔在分析人们喜欢电影的原因时,曾说:个人正越来越难于理解形成现代世界(包括他自己的命运在内)的各种力量,机械结构和变化过程,世界已变得如此复杂,包括在政治和其他一切方面,以致不再能还原它的本来面目了,任何果都仿佛和它的许多可能的因脱离了关系;任何综合的企图或再造一个统一化形象的企图都终归于失败,面对着种种难以明确解释的,因而是不可控制的影响,人们便普遍产生一种无能为力的感觉.在我们中间,无疑有很多人由于无力抗拒这些影响而深感痛苦(有人意识到,有人则没有意识到这种痛苦).于是,我们便想寻求补偿.而电影看来是能暂时使人得到解脱的,在电影院里,一切都在掌握之中,在那里,被现实打挎的人摇身一变为创造万物的主人.(齐格弗里德・克拉考尔.电影的本性.邵牧君,译.北京:中国电影出版社,1993.217.)
同样的理由,我们无论是在遥远的古希腊欧几里得时代,还是在今天,我们对空间的认识,对宇宙的理解,最多也就迈出了蚂蚁般的一小步,用法国数学家、哲学家帕斯卡的一句话形容再恰当不过了,他说:“在这永恒沉默的空间面前,我索索发抖.”而苏格拉底和柏拉图这师徒俩之所以怀着深厚的几何学情结,是因为他们想借这一工具找到上帝.苏格拉底看到,物质的速朽性、无常性使他自然联想到身体,再进一步联想到人的精神的属性,这时他看到了几何学的特别属性,不受时空的腐蚀,是永恒的、绝对的,这吻合了柏拉图的绝对理念,只有上帝是绝对的,于是他们认为几何学可以修筑通往上帝的天梯.所以有人说,《几何原本》与其说是数学,不如说是描述宇宙的诗歌之舞,是一种宗教情怀,一种哲学,我想也只有上升到如此的高度,才能理解,像沈先生这样的大家,几十年如一日,心无旁骛专攻平面几何,以收集几何名题为人生乐事.
数学家具有独特的思维角度,比如经济学中财富的概念,亚当・斯密很推崇思想家霍布斯对财富的定义,霍布斯说,财富就是权力(Wealth is power),而数学家古诺在1838年写了一本《财富理论的数学原理》,美国经济学家欧文・费雪把它引入到英语世界,古诺说:什么是财富,能卖出去的就是财富,有交换价值的就是财富,财富由交换价值决定,跟劳动含量无关,这个世界上没有什么“真实价值”,只有交换.从这个意义上讲,有人读或者说有人掏真金白银买的书是有价值的,而无人问津的就是无价值的,所以销量是衡量一本书有价值与否的一个重要参数,沈老师的书在我室出版之后是既叫好又叫座是名符其实的双效书.
按古诺的理论,它是一笔宝贵的精神财富,以瑰宝为名恰如其分.在剑桥大学刚出现的13世纪,在乔叟的时代,六七本书的价钱大约就是一般老百姓在城里一幢房屋的价钱,看来在当时,书中未必有“颜如玉”,但书中却是有“黄金屋”的了.
那时,私人很少有书,只有大学有,加莱尔就说,当时“真正的大学只是书的聚藏所”.几何书传世不易,以欧几里得的《几何原本》为例,原来共有13卷,希腊文原稿也已失传,现存的是公元4世纪末西翁的修订本和18世纪在梵蒂冈图书馆发现的希腊文手抄原本,笔者曾在梵蒂冈图书馆门前伫立许久终究没能踏入一饱眼福,见一见这价值连城的珍宝.世界公认《几何原本》是一块人类文明的极致瑰宝,沈老师这本书取名为《几何瑰宝》蕴意就在于此吧.这本书即将出版的消息公布后立即引来众多爱几何人士的关注,许多人还建议出精装本,以便于收藏,这种现在已不多见的藏书热情让我想起《搜书记》作者谢其章在《文汇读书周报》上写的一篇“买书依旧多过读书”的文章,文章末尾谢先生说了这样一番话,他说:我想表明一个想法,生活里可以没有买书这事,买书却离不开生活,我们这种人为了书付出了许多,虽然也得到过快乐,然而随之而来的苦恼却不为外人所知,我周围的很多人,他们没有买书的嗜好,活得却比我开心得多敞亮得多,能给生活带来快乐的事物数不胜数,我们只得说,在没有找到更适合自己性情的事之前,目前还只能做买书这件事,还有一个原因,有的事现在才想起来做,时间上有些不赶趟了.
沈先生这部书论篇幅及规模可以算是目前国内平面几何著作中集之大成者,非第一莫属.
对于出版物而言,同一内容和类型篇幅上可长可短.比如百科全书,剑桥百科全书共1 478页,兰登书屋百科全书共2 911页,哥伦比亚百科全书厚达3 000余页,而世界上最大型的百科全书当属大英百科全书,这部巨作已经出版了十余版,其中最具声望的是1910~1911年所出的第11版,全部共29巨册,内容十分详尽丰富,单是Encyclopaedia(中译“百科全书”)一字的定义就用了2 500余字来解释.相反的,小型百科全书就简略很多,如“兰登书屋版”约用了500字,而“剑桥版”只用了120余字作解释,我们数学工作室素有做大做全的倾向,所以要求沈先生务必以“高、大、全”为目标.出版一部小书动机可暂且不论,但对如此规模之书,动机不说清楚,不合常理.全国第20届书博会在成都举行,到了成都有一处不可不看,那就是樊建川的博物馆,一个商人建博物馆,他为什么?答案是:为了和平,收藏战争;为了未来,收藏教训;为了安宁,收藏灾难;为了传承,收藏民俗.
仿此,如果有人问为什么出版如此大型的几何巨著.我们的答案是:为了素质,出版数学;为了思维,出版几何;为了鉴赏,出版瑰宝;为了收藏,出版经典.还是拿名人说事有说服力,按康有为的年谱,他22岁时“渐收西学之书,为讲求西学之基矣”;至25岁时经上海“大购西书以归,八月抵家,自是大讲西学,而尽释故见”;27岁时“旁收四教 ,兼为算学,并涉猎西学书”;28岁(1885年)“从事算学,以几何著人类公理”.在他1895年写的一篇《兴算学议》中,撰写了一篇算学馆章程,其中有这样的字句:“算学为格致初基,必欲诣极精微,终身亦不能尽.”可惜的是今天,人们对平面几何乃至对数学的认识尚不及梁启超时代.正如美国历史学家威廉・E・多德(William E.Dodd)曾抱怨说:有抱负的年轻人下海经商,走向了现代社会所说的成功之路,手中有大把的钞票或证券.第二流甚或第三流的年轻人走进了学术界,更差一些的年轻人则去当中学教师……我们当时所做的事情主要是用最差的材料来组成我国的思想要素,博士生的培养本身变成了教育愚笨的人,尽量把他们当作天才来使用(马尔库斯・W・杰尔内甘,哲学博士在历史上的创造力).在此情形之下,如清初杜知耕(1685年前后)所著《数学钥》(1681)中,李子全作序有言:“京师诸君子即素所号为通人者,无不望之反走,否则掩卷而不谈,或谈之亦茫然而不得其解.”
学数学出身的经济学家用数学家惯用的抽象,习惯用最概括的语言描述了现代中国人深陷其中且不能自拔的教育的困境:当整个社会被嵌入到一个从人与人之间的激烈竞争为最显著特征的市场之内的时候,教育迅速地从旨在使每一个人的内在禀赋在一套核心价值观的指引下得到充分发展的过程蜕变为一个旨在赋予每一个人最适合于社会竞争的外在特征的过程(汪丁丁.串接的叙事:自由、秩序、知识.北京:三联书店,2009.180).而美国第16任总统林肯却说:“任何人都有极大信心说服一位愿意讲道理的小孩,使他接受欧几里得那些较简单的定理;但如果对方不接受定义和公理的话,他便完全束手无策,以失败告终,但如果接受,那他一定会被降服.”
经济学之父亚当・斯密在大学时代就曾受到数学家的影响,亚当・斯密,1723年生于爱丁堡附近的一个小城市柯尔迪(kirkculdy),在那里上过小学1737年14岁时转到格拉斯哥大学上学,在这里他受到三位杰出教授的熏陶,一位是希腊语教授Alexander Dunlop,一位是道德哲学教授哈奇森(Hutcheson),还有一位就是数学教授西姆森(Robert Simson).西姆森是苏格兰人,他曾积极宣传古代学者的几何学,他的著作《圆锥曲线五论》保持了当时已被认为过时的阿波罗尼的体例,这部著作的价值在于它第一次介绍了著名的笛沙格定理和帕斯卡定理,他的著作中还记录了瓦利斯发现的一条初等几何定理,被称为西姆森定理.
现代人身处剧变的时代对处变不惊的古典东西深怀敬畏是正常的,1973年,一位名叫生方史郎的17岁日本少年,写了一篇题为“汤川秀树与庄子”的小文章(汤川秀树是首位获诺贝尔物理学奖的日本物理学家,他早年从事原子核与宇宙射线的研究.他预见存在一种未知的基本粒子,产生了使原子核得以结合的力,汤川称这种新粒子为“介子”).生方史郎大学毕业后成了金融业者,但他对古典学术却怀有浓厚的关切,并建立了个人主题网站“来自古典派的消息”.古典学术的吸引力足以吸引凡是与其曾有过接触的人,当年徐光启只读完《几何原本》前六卷,就已洞察了该书的精神及长处,他说:“由显入微,从疑得信,盖不用为用,众用所基,真可谓万象之形囿,百家之学海”(译《几何原本》原序).所以尽管沈老师的书内容相对古老,但堪称经典,所以我们相信会遇到知音.
孔子在《论语・为政篇》中有“温故而知新,可以为师矣”的名言,但现在越来越多的人对当代学界的“知识生产”即温故过程进行了反思,特别指出在这种机械复制式的垃圾生产中,学者们实质上只是“复印机”,用邓正来先生的话说,他们认真且严格地复制或放大着根本“没有他们”的各种观点或理论,进而认真且严格地复制或放大看根本“没有他们”的各种问题,甚至是理论问题.“巨量的”研究著作,每年在涌向过度饱和臃肿的图书市场,然而学界的“知识增量”却毫无增加,这些“复印机”们尽管温故不能知新,但一个个都是“著作等身”,的教授,一个个都在“知识流水线”上教授学生乃至社会大众.
沈老师虽也可称“著作等身”,但可以肯定他并不是机械式的复印机,而是积几十年功力将平面几何的珍宝用一根红线串了起来,是一种再创作.借用几句文言文可说是:“尝得春秋,披览不倦,凡大家之手迹,古典之珍品,莫不采摭其华实,探涉其源流,钩纂枢要而编节之,改岁钥而成书.”
顺便再谈一谈封面,英国浪漫主义“桂冠诗人”华兹华斯(William Wordsorth,1770―1850)在他的长诗《序曲》(Prelude,1805)中曾多处提到几何,尤其有一幕描述一位遭遇海难而幸存的人,沉船后登上一个荒岛,除了弃船时带的一本几何书外,孑然一身!但他在沙滩上绘图做几何题以自娱,竟忘记了饥饿与恐惧,这感人的场面被艺术家借其灵感制作成一幅版画,苏格兰数学家格利高利(David Gregory,1659―1708)用作卷首插图,放在由他编撰的《欧几里得著作汇编》(Euclidis Quae Supersunt Omnia,1703)扉页上,画中是三位古代学者沉船后获救上岸,在沙滩上见到有一些几何图形画在上面,高兴得大叫:“不要害怕,我看见了人类文化的足迹!”正如华兹华斯《序曲》中所赞叹的那样:“心灵充满图形,抽象思维魅力何其巨大……纯粹智性,创建了独立的世界.”
在本书的封面上笔者选用了这张版画,说起来得到这张画还颇费周折,笔者有逛旧书店的爱好,到国外也不忘,常被人视为迂腐.几年前在新西兰的奥克兰,通过黄页找到几家旧书店,一一走访,终于在一家旧书店从几万种书中找到了一本奥克兰大学前任的数学系主任退休后弟子给他弄的纪念文集,封面恰好是这幅版画,虽已破旧,但还可用,遂以40纽币买下.现在用于本书,再恰当不过了,因为现在被人称为实图时代,有好图很重要.据《文汇读书周报》报道一本首版于1999年的带插图的现代物理学入门读物《把握物理学》由一次极偶然的事件畅销起来.
世界著名高尔夫巨星老虎・伍兹在家门口发生了一起车祸.随后,在美国佛罗里达警方披露的伍兹车祸现场照片中包括一张记录事发的伍兹所驾驶的SUV车内部情景的照片.照片里,在后座的水瓶、毛巾、折伞和玻璃碎片中,人们还发现了一本翻阅已久的平装本《把握物理学》,照片公布后,该书在亚马逊图书销量排行榜上的名次迅速攀升,几日内便从第396 224位一下子跃居第2 268位.车祸让伍兹麻烦连连,却让该书作者英国萨赛克斯大学任教的科普作家约翰・格瑞宾成了最大赢家.
笔者认定沈老师的书一定会畅销,既不是因为封面精美,也不靠花边新闻,它一定是以润物细无声的方式逐步被市场所接受,我室所出版的图书,从来不搞大轰大嗡式的宣传推介,这在图书发行中是颇为少见的,当市场大潮漫过出版业之后,大多数人是无法安之若素的,精于市场之道者,轰轰烈烈借用媒体炒作,而后知后觉者则一开始就对市场不屑一顾,而从长期来看,长于经营之道的并不一定能让市场买账,后知后觉者也不一定会被市场抛弃,图书与市场都各有一套自己的规则.特别是平面几何书它有自己独立的读者群,原因可能正像利玛窦在日记中所写:“……但中国人最喜欢的莫过于欧几里得的《原本》.也许是因为没有人比中国人更重视数学了,尽管他们的数学方法与我们有别;他们提出各式各样的命题,却都没有证明,这样一种体系的结果是任何人都可以在数学上随意发挥自己最狂放的想象力而不必提供确凿证据.”
他们看到欧几里得与之相反的一个不同的特色,亦即命题是按特定次序作叙述,而且对这些命题给予证明是如此确凿,即使最固执的人也无法否认它们.
数学的价值之一是确定性和唯一性,不像文学随意解释,“白骨精”曾是一个美妙的词,白领,骨干,精英,但也有人恶毒地将其解析为“白眼,骨灰,妖精”.正是由于欧氏几何的这种推理典范使得中国学术界予以接受,近代学者梁启超在《清代学术概论》中提及:“自明之末叶,利玛窦等输入当时所谓西学者于中国,而学问研究方法上,生一种外来的变化.其初唯治天算者宗之,后则渐应用于他学.”(原刊载于《改造杂志》,1920/1921).另一位史学大家陈寅恪指出:夫欧几里得之书,条理统系,精密绝伦,非仅论数论象之书,实为希腊民族精神之所表现.(《几何原本》满文译本跋,原载《历史语音研究所集刊》第二本第三分册1931)
在让―菲利浦・德・托纳克编的《别想摆脱书》(吴雅凌译.广西师范大学出版社,2010)中的前言中写到:“这一个扼杀另一个.书籍扼杀建筑.”雨果借巴黎圣母院副主教克洛德・弗罗洛之口说出这一名言,建筑当然不会消失,但它将丧失文化旗帜这个功能,因为文化处于不断变化之中.
“思想化作书,只需几页纸,一点黑水和一支毛笔,两厢比较,人类的智慧放弃建筑而转至印刷,又何足怪哉?”
我们祝愿,由沈文选教授挖掘整理而成的几何瑰宝会永久传世,熠熠生辉,最后我想借用俄罗斯已故数学教育家沙雷金(Igor Fedororich Sharygin,1937―2004,我室正在准备出版沙雷金先生的《平面几何5000题》)的两段话结束.沙雷金说:“几何乃人类文化重要的一环……几何,还有更广泛的数学,对儿童的品德教育很有益处……几何培养数学直觉,引领学生进行独立原创思维……几何是从初等数学迈向高等数学的最佳途径.”
“学习数学能够树立我们的德行,提升我们的正义感和尊严,增强我们天生的正直和原则.
数学境界内的生活理念,乃基于证明,而这是最崇高的一种道德概念.”
刘培杰
2010年6月1日于哈工大