高斯积分

推导

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\]

任意高斯积分的定积分为

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-a(x+b)^2}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\] 定义函数 \[I(a)=\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx\] 高斯积分通过求它的极限得到 \[\lim_{a\to\infty}I(a)=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx\]对 $I(a)$ 取平方得到 \begin{aligned} I^2(a)&=(\int_{-a}^{a}e^{-x^2}dx)\cdot(\int_{-a}^ae^{-y^2}dy)\\ &=\int_{-a}^{a}(\int_{-a}^{a}e^{-y^2}dy)e^{-x^2}dx\\ &=\int_{-a}^{a}\int_{-a}^{a}e^{-(x^2+y^2)}dxdy \end{aligned}

该双重积分可被看作是直角坐标系上一个正方形的面积 $\int e^{-(x^2+y^2)}d(x,y)$,其顶点为 ${(-a,a),(a,a),(a,-a),(-a,-a)}$。

这个正方形的内切圆的积分必须小于 $I^2(a)$,外接圆的积分必须大于 $I(a)^2$。通过直角坐标系转化到极坐标系可计算出这两个圆盘的积分。

\[\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}drd\theta<I^2(a)<\int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}drd\theta\] 得到 \[\pi(1-e^{-a^2})<I^2(a)<\pi(1-e^{-2a^2})\]

通过夹逼定理获得高斯积分

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi}\]

推广

\[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2+bx+c}dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{4a}+c}\]波函数归一化中可能用到。\[\int_0^\infty x^{2n}e^{-\frac{x^2}{a^2}}dx=\sqrt{\pi}\frac{a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}\]谐振子中常常用到\[\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-\frac{x^2}{a^2}}dx=\frac{n!}{2}a^{2n+2}\]

散射

\[I=\int_0^\infty e^{-\mu r}\sin kr dr\]

由于 $\sin(kr)=\frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2i}$,代入积分

\begin{aligned} I&=\int_0^\infty e^{-\mu r} \frac{e^{ikr}-e^{-ikr}}{2i} dr\\ &=\frac{1}{2i}(\int_0^\infty e^{(ik-\mu)r}dr-\int_0^\infty e^{(-ik-\mu)}dr)\\ &=\frac{1}{2i}\left[\frac{e^{(ik-\mu)r}}{ik-\mu}+\frac{e^{(-ik-u)r}}{ik+u}\right]_0^\infty\\ &=\frac{1}{2i(-k^2-u^2)}\left[e^{(ik-\mu)r}(ik+\mu)+e^{(-ik-\mu)r}(ik-\mu)\right]_0^\infty\\ &=\frac{1}{-2i(k^2+u^2)}(-(ik+\mu)-(ik-u)))\\ &=\frac{k}{k^2+u^2} \end{aligned}

该积分常用于波恩近似。

\[I=\int_0^\infty\sin qrdr\] \begin{aligned} I&=\int_0^\infty\sin qrdr\\ &=\lim_{\beta\to 0}e^{-\beta r}\sin qr dr\\ &=\lim_{\beta\to 0}\frac{q}{\beta^2+q^2}\\ &=\frac{1}{q} \end{aligned}