1 引言

矩阵计算不仅在线性代数中, 而且在整个数学, 乃至物理及其他学科中都有重要的地位.

刘绍学先生曾说:“1962年在颐和园龙王庙会议期间, 万哲先学兄对我说:‘搞典型群研究我们掌握一些基本手法和招数, 你们搞环论的有哪些手法和招数?’”“ (20世纪) 70年代在一次出数学竞赛题的会议中与华罗庚先生在他的房间闲谈.他对我说:‘国外把我说 (骂) 成是玩矩阵的魔鬼.……表面上你看我搞的是多复变函数、偏微分方程, 实际上骨子里还是我的矩阵技巧.’”[1]

可见矩阵技巧是在华罗庚学派的“基本手法和招数”之一.

许以超先生说“打洞”是“矩阵计算中的最基本的技巧”.[2]数学中最基本的技巧, 也是最重要、最有用的技巧.冯克勤先生有段很有趣的回忆:“20世纪70年代, 当我成为科大的一名教员时, 曾肯成先生对当年科大的情景说过几句格言, 我只记得其中的两句.一句是‘科大是放羊, 而不是喂猪’, 另一句是‘龙生龙, 凤生凤, 华罗庚的学生会打洞’.”[1]

我们想在此谈谈对打洞技巧的一些认识, 以求大家的指导.

2 什么是打洞技巧

什么是打洞技巧?我们介绍许以超先生的讲法[2].

以$I_k$表示域$\boldsymbol F$上的k阶单位矩阵.设A是域F上的m×n阶矩阵 (即AFm×n) , 且

A= (BCDE) (2.1)

于是当Br阶方阵, 且detB≠0时有

(Ιr0-DB-1Ιm-r) (BCDE) = (BC0E-DB-1C) , (2.2)

(BCDE) (Ιr-B-1C0Ιn-r) = (B0DE-DB-1C) . (2.3)

以上两式分别将 (2.1) 式中的D, C变成了0, 而0在电报语言中称为“洞”, 因此这种方法称为“打洞”.

类似地, 当Ek阶方阵, 且detE≠0时有

(Ιm-k-CE-10Ιk) (BCDE) = (B-CE-1D0DE) , (2.4)

(BCDE) (Ιn-k0-E-1DΙk) = (B-CE-1DC0E) , (2.5)

如果A是2阶方阵, 这时 (2.1) 式变为

A= (bcde) . (2.1′)

如果b≠0, (2.2) 式与 (2.3) 式分别变为

(10-db-11) (bcde) = (bc0e-db-1c) , (2.2′)

(bcde) (1-b-1c01) = (d0de-db-1c) , (2.3′)

类似地, 当e≠0时, (2.4) 式与 (2.5) 式分别变为

(1-ce-101) (bcde) = (b-ce-1d0de) , (2.4′)

(bcde) (10-e-1d1) = (b-ce-1dc0e) . (2.5′)

(2.2′) 式与 (2.4′) 式是将 (2.1′) 式中矩阵A进行一次初等行变换, (2.3′) 式与 (2.5′) 式是将 (2.1′) 式中矩阵A进行一次初等列变换.因此打洞技巧是矩阵一行减另一行的若干倍, 或一列减另一列的若干倍这两类初等变换的推广.由此可知, 若在 (2.1) 中, CD可逆, 也可将B, E打成洞.

如果我们将域F改为含幺元的交换环, 将条件detB≠0, detE≠0分别换为B, E为可逆方阵, 打洞法仍然有效.条件detB≠0, detE≠0并不等价于B, E为可逆方阵.

3 打洞技巧的应用举例

本节我们用一些例子来说明打洞技巧的应用.

3.1 用打洞技巧计算行列式

打洞技巧的应用当首推“将高阶行列式的计算化为低阶行列式的计算”[2].

1 设AFn×n, 且$A=\left(\begin{array}{ll}B & C \\ D & E\end{array}\right), B \in {\boldsymbol F}^{r \times r},\operatorname{det}B\ne0$.试证

detA=detB·det (E-DB-1C) . (3.1)

证明 因为detB≠0, 故B可逆.于是 (Ιr0-DB-1Ιn-r) (BCDE) = (BC0E-DB-1C) .

det (Ιr0-DB-1Ιn-r) =1.所以 (3.1) 式成立.

矩阵计算中另一个技巧是所谓 “摄动法”, 常与打洞技巧一起用.

2 设ABCDFn×n, F的特征为0, 且AC=CA.试证

|ABCD|=|AD-CB|. (3.2)

证明 令$A(λ)=λI_n+A$.则$\operatorname{det}A(\lambda)$是$\lambda$的$n$次多项式,至多$n$个根.由$AC=CA$,有$A(λ)C=CA(λ)$.若$\operatorname{det}A(\lambda)≠0$,则$A(\lambda)$可逆, 且有

于是det (A (λ) BCD) =detA (λ) det (D-CA (λ) -1B) =det (A (λ) D-CB) .

由于det (A (λ) BCD) ,det (A (λ) D-CB) 都是$λ$的有限次多项式,且若$\operatorname{det}A(λ)≠0$, 则

det (A (λ) BCD) =det (A (λ) D-CB) , (3.3)

故 (3.3) 对任何λ成立.特别地, 对λ=0也成立, 于是结论成立.

如果F的特征不是0, 用摄动法时要特别当心.如果F是实数域或复数域时, 在 (3.3) 中令λ→0, 则可知 (3.2) 成立.摄动法实际是源于此.

矩阵乘法的结合性导致对一个矩阵的行变换和列变换的交换性, 于是行、列变换可同时进行, 在打洞技巧中要求 (2.1) 中的B, C, D, E至少有一个可逆, 对特殊情况也不一定.

3 设A, BFn×n.试证

|ABBA|=|A+B||A-B| (3.4)

证明 注意到$\left(\begin{array}{cc}I_{n} & I_{n} \\ 0 & I_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A & B \\ B & A\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I_{n} & -I_{n} \\ 0 & I_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A+B & A+B \\ B & A\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I_{n} & -I_{n} \\ 0 & I_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A+B & 0 \\ B & A-B\end{array}\right)$

于是 (3.4) 成立.

3.2 用打洞技巧求逆矩阵及判断矩阵的可逆性

判断矩阵是否可逆及求可逆矩阵是线性代数中的重要问题.打洞技巧也是很有用的.

4 设AFn×n, detA≠0, BFr×r, detB≠0, 且A= (BCDE) , 试证

A-1= (Ιr-B-1C0Ιn-r) (B-100 (E-DB-1C) -1) (Ιr0-DB-1Ιn-r) . (3.5)

证明 因为detA≠0, detB≠0, 故A, B可逆.又$\left(\begin{array}{ll}B & C \\ D & E\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I_{r} & -B^{-1} C \\ 0 & I_{n-r}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}B & 0 \\ D & E-D B^{-1} C\end{array}\right)$

故det (E-DB-1C) =detA/detB≠0.因此E-DB-1C可逆.再由

(B0DE-DB-1C) (B-100 (E-DB-1C) -1) = (Ιr0DB-1Ιn-r) , $\left(\begin{array}{cc}I_{r} & 0 \\ D B^{-1} & I_{n-r}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I_{r} & 0 \\ -D B^{-1} & I_{n-r}\end{array}\right)=I_{n}$

得 (3.5) 成立.

5 设A, D分别为Fm阶, n阶可逆方阵.则矩阵Η= (ABCD) 为可逆矩阵当且仅当A-BD-1CD-CA-1B都是可逆矩阵.

证明 因为A, D可逆, 于是有$\left(\begin{array}{cc}I_{m} & 0 \\ -C A^{-1} & I_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & D-C A^{-1} B\end{array}\right), \quad\left(\begin{array}{ll}A & B \\ C & D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I_{m} & 0 \\ -D^{-1} C & I_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A-B D^{-1} C & B \\ 0 & D\end{array}\right)$

因此 detH=detAdet (D-CA-1B) =detDdet (A-BD-1C) .

因而, H可逆, 当且仅当D-CA-1B可逆, 当且仅当A-BD-1C可逆.

打洞技巧与数学归纳法结合在一起使用是很常见的情形.

6 设A= (aij) n×nRn×n满足条件:aij≤0 (ij) ;A (12k12k) 0 (1kn) .则有:A-1的所有元素非负;存在X= (x1, …, xn) ′, xi>0 (1≤in) 使得AX中每个元素皆正.

证明 对n作归纳证明.n=1时, 命题显然成立.设n-1时命题已成立.对A作如下分块$$A=\left(\begin{array}{cc}A_{n-1} & \alpha \\ \beta & a_{nn}\end{array}\right)$$

于是有An-1可逆, 且An-1-1中每个元素非负.且$\left(\begin{array}{cc}I_{n-1} & 0 \\ -\beta A_{n-1}^{-1} & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A_{n-1} & \alpha \\ \beta & a_{nn}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A_{n-1} & \alpha \\ 0 & a_{nn}-\beta A_{n-1}^{-1} \alpha\end{array}\right)$

d=ann-βAn-1-1α.则d=detA/detAn-1>0.又$\left(\begin{array}{cc}I_{n-1} & -\frac{1}{d} \alpha \\ 0 & 1\end{array} \right)\left(\begin{array}{cc}A_{n-1} & \alpha \\ 0 & d\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A_{n-1} & 0 \\ 0 & d\end{array}\right)$

因而有A-1= (An-1-100d-1) (Ιn-1-1dα01) (Ιn-10-βAn-1-11) .

由于An-1-1中每个元素非负, d>0, α, β中元素非正, 于是上式右面三个矩阵中元素都非负.因而A-1中元素非负.记A-1= (bij) .于是bij≥0.

X=j=1ncoljA-1= (x1, , xn) .则xi=j=1nbij.由A-1可逆, 故xi>0, 且

AX=j=1nAcoljA-1=j=1ncoljAA-1= (1, 1, , 1) .

AX中每个元素为正数.

本例中的矩阵A及其性质在线性不等式理论和Kac-Moody代数理论中是很重要的.

3.3 打洞技巧与二次型理论

用线性代数研究二次型是将二次型化为对称矩阵.将高阶对称矩阵化为低阶对称矩阵既是基本方法也是基本任务.

7 设A, B, C, DFn×n, A可逆对称, B′=C, 证明存在可逆方阵T, 使Τ (ABCD) Τ为准对角方阵.

证明 因为A可逆对称.于是A-1对称.注意到$\left(\begin{array}{cc}I_{n} & 0 \\ -C A^{-1} & I_{n}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A & B \\ C & D\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I_{n} & -\left(A^{-1}\right)^{\prime} C^{\prime} \\ 0 & I_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A & B \\ 0 & D-C A^{-1} B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}I_{n} & -\left(A^{-1}\right)^{\prime} C^{\prime} \\ 0 & I_{n}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A & 0 \\ 0 & D-C A^{-1} B\end{array}\right)$

因此结论成立.

在此题中, 若D也是对称的, 则整个矩阵 (ABCD) 是对称的.

8 设Qn阶实正定对称矩阵, Xn维实列向量.证明

0≤X′ (Q+XX′) -1X<1. (3.6)

证明 设A=Q+XX′.因Q正定, XX′半正定, 故A正定, 因此A-1也正定.因而

0≤X′ (Q+XX′) -1X.

再由A正定, 知detA>0, 而且有可逆矩阵P使得Q=PP.因此

$$\left(\begin{array}{cc}P^{\prime} & X \\ 0 & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}P & 0 \\ X^{\prime} & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}P^{\prime} P+X X^{\prime} & X \\ X^{\prime} & 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A & X \\ X^{\prime} & 1\end{array}\right)$$

(Ιn0-XA-11) (AXX1) = (AX0-XA-1X+1) .

于是 (-XA-1X+1) detA=|AXX1|= (detΡ) 20.

因此 (3.6) 式成立.

3.4 打洞技巧的其他应用

下面的例子说明用打洞法可将线性方程组中未知数个数减少, 即消元.

9 设AFn×n, 且A= (A1A2A3A4) .其中A1Fk×k, A4F (n-k) × (n-k) , 且A4可逆.又

$$X=\left(\begin{array}{l}X_{1} \\ X_{2}\end{array}\right), \quad B=\left(\begin{array}{l}B_{1} \\ B_{2}\end{array}\right)$$

其中B1Fk×1, B2F (n-k) ×1.X1, X2分别为k×1, (n-k) ×1的未知矩阵.则线性方程组

AX=B (3.7)

中前k个未知数, 即X1满足线性方程组

(A1-A2A4-1A3) X1=B1-A2A4-1B2. (3.8)

证明 在 (3.7) 的两边左乘 (Ιk-A2A4-10Ιn-k) , 则由

(Ιk-A2A4-10Ιn-k) (A1A2A3A4) (X1X2) = (Ιk-A2A4-10Ιn-k) (B1B2) ,

(A1-A2A4-1A30A3A4) (X1X2) = (B1-A2A4-1B2B2) .

于是X1满足 (3.8)

打洞技巧的要害是用“初等变换”将矩阵中的一些元素变为0.在具体处理过程中, 不必拘泥于将所研究的矩阵分为四块.

10 证明Vandermonde行列式

|1111a1a2a3ana12a22a32an2a1n-1a2n-1a3n-1ann-1|=Πij (aj-ai) . (3.9)

证明 注意到

(1-a11-a11-a11) (1111a1a2a3ana12a22a32an2a1n-1a2n-1a3n-1ann-1) =$\left(\begin{array}{ccccc}1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & a_{2}-a_{1} & a_{3}-a_{1} & \cdots & a_{n}-a_{1} \\ 0 & a_{2}\left(a_{2}-a_{1}\right) & a_{3}\left(a_{3}-a_{1}\right) & \cdots & a_{n}\left(a_{n}-a_{1}\right) \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & a_{2}^{n-2}\left(a_{2}-a_{1}\right) & a_{3}^{n-2}\left(a_{3}-a_{1}\right) & \cdots & a_{n}^{n-2}\left(a_{n}-a_{1}\right)\end{array}\right)$

再用数学归纳法,就可证明(3.9)式.
11 设$a_1,a_2,…,a_n$互不相等,试证$$a_{n}^{n-1}-\alpha A_{1}^{-1} \beta=\prod_{i=1}^{n-1}\left(a_{n}-a_{i}\right)\tag{3.10}$$ 其中$$\alpha=\left(\begin{array}{cccc}a_{1}^{n-1} & a_{2}^{n-1} & \cdots & a_{n-1}^{n-1}\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{c}1 \\ a_{n} \\ a_{n}^{2} \\ \vdots \\ a_{n}^{n-2}\end{array}\right), A_{1}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & \cdots & 1 \\ a_{1} & a_{2} & \cdots & a_{n-1} \\ a_{1}^{2} & a_{2}^{2} & \cdots & a_{n-1}^{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1}^{n-2} & a_{2}^{n-2} & \cdots & a_{n-1}^{n-2}\end{array}\right)$$证明 令$A=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & \beta \\ \alpha & a_{n}^{n-1}\end{array}\right)$.由假设条件知$A_1$是可逆的,因此$$\left(\begin{array}{cc}I_{n-1} & 0 \\ -\alpha A_{1}^{-1} & 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A_{1} & \beta \\ \alpha & a_{n}^{n-1}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}A_{1} & \beta \\ 0 & a_{n}^{n-1}-\alpha A_{1}^{-1} \beta\end{array}\right)$$比较等式两边的行列式知(3.10)式成立.

References

[1]张继平主编.新世纪代数学[M].北京:北京大学出版社, 2002:342, 355-356.

[2]许以超.线性代数与矩阵论[M].北京:高等教育出版社, 1992:98.